Matrizes

por **DanielRJ** » Qua Set 01, 2010 17:06

O numero de matrizes $A=(A_{ij})_{2x2}$ onde $\begin{equation*} A_{ij} = \left\{ \begin{array}{rl} x & \text{se } i = j\\ y & \text{se } i \neq j\\ \end{array} \right. \end{equation*}$ tais que $A=A^{-1}$ .

a)0
b)1
c)2
d)3
e)4

gostaria de saber como se faz essa questão.. porque não entendi o enunciado. eu calculo a inversa depois fico sem saber o que fazer.

por **MarceloFantini** » Qua Set 01, 2010 21:13

$\begin {pmatrix} x & y \\ y & x \end {pmatrix} \cdot \begin {pmatrix} a & b \\ c & d \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {pmatrix}$

$= \begin {pmatrix} ax+ cy & bx + dy \\ ay + cx & by + dx \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {pmatrix}$

ax + cy = 1

Resolva o sistema, encontre a, b, c, d

em função de

e

e depois iguale a matriz inicial à inversa. Feito isso, analise as possibilidades.

por **DanielRJ** » Sex Set 03, 2010 11:46

Olá fantini agradeço pela resposta mas fiquei meio em duvida. a propriedade que voce usou ali foi:

$A.A^{-1} = I_2$ , até ai tudo bem mas porque a, b, c , d como variaveis? eu podia tentar criar uma inversa da matriz A tipo.. com as variaveis x e y?

Att Daniel.

por **DanielRJ** » Sáb Set 04, 2010 11:34

por **MarceloFantini** » Sáb Set 04, 2010 12:02

As variáveis a, b, c e d são para você justamente encontrar a matriz inversa em função de x e y e verificar quantas matrizes satisfazem a relação.

por **Douglasm** » Sáb Set 04, 2010 12:06

Daniel, note que a inversa de uma matriz é dada por:

$M^{-1} = \frac{1}{det\; M} . \overline{M}$

Ou seja: a matriz inversa de M é dada pelo inverso do determinante de M, multiplicado pela matriz adjunta da mesma:

$M^{-1} = \frac{1}{x^2 - y^2} . \begin{vmatrix} x & -y \\ -y & x\end{vmatrix}$

Considerando primeiro que:

$x = \frac{x}{x^2 - y^2} \;\therefore$

x^2 - y^2 = 1

Temos:

$y = \frac{-y}{x^2 - y^2} \;\therefore$

$y = -y \;\therefore$

$x = 1\;\mbox{ou}\; -1\;\mbox{e}\; y = 0$

Agora considerando primeiro que:

$y = \frac{-y}{x^2 - y^2} \;\therefore$

x^2 - y^2 = -1

Encontramos de modo análogo:

$x = 0 \;\mbox{e}\; y = 1\;\mbox{ou}\; -1$

Isso nos dá 4 possibilidades:

- Diagonal principal composta por 1's (ou por -1's) e os outros elementos nulos.

- Diagonal secundária composta por 1's (ou por -1's) e os outros elementos nulos.

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