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2ª Fórmula de Moivre

2ª Fórmula de Moivre

Mensagempor Jonatan » Qui Ago 05, 2010 18:23

Sendo \frac{\sqrt[]{2}}{2}+i\frac{\sqrt[]{2}}{2} uma das raízes quartas de um número z, determinar as raízes quadradas de z.

Gabarito: i ou -i

Como faz esse exercício utilizando conhecimentos da 2ª de Moivre?
Eu tentei começar a fazer alguma coisa calculando o módulo da raiz dada, que achei módulo 1;
O argumento principal da raiz dada, que achei \theta = \frac{\Pi}{4}, e escrevi todas as raízes quartas do número complexo z.

O problema é que ele pediu as raízes quadradas do número complexo z. Mas eu não sei qual é o número complexo z...

Como fazer?? Desde já, agradeço alguma ajuda.
Jonatan
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Re: 2ª Fórmula de Moivre

Mensagempor Lucio Carvalho » Sex Ago 06, 2010 20:24

Olá Jonatan,
Segue, em anexo, uma ajuda passo a passo.
Espero que compreendas!
Anexos
Complex.png
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Lucio Carvalho
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.