Binômio , questão da Unirio

por **Stephanie** » Sáb Jul 31, 2010 17:43

Eu não faço a minima ideia de o que é o termo médio e o meu desenvolvimento está errado! por favor me ajudem!!

No desenvolvimento de (x+y) [elevado a n ] a diferença entre os coeficientes da 3º e do 2º termo é igual a 54. Podemos afirmar que o temro médio é o :

a- 3º
b- 4º
c- 5º
d- 6º
e- 7º

Obrigada

por **Molina** » Dom Ago 01, 2010 13:55

Stephanie escreveu:Eu não faço a minima ideia de o que é o termo médio e o meu desenvolvimento está errado! por favor me ajudem!!

No desenvolvimento de (x+y) [elevado a n ] a diferença entre os coeficientes da 3º e do 2º termo é igual a 54. Podemos afirmar que o temro médio é o :

a- 3º
b- 4º
c- 5º
d- 6º
e- 7º

Obrigada

Bom dia.

Primeiramente, Termo Central ou Médio é aquele que fica no meio, se o desenvolvimento for de grau par.

Por exemplo, em (a+b)^2

, onde

, o grau é par. Desenvolvendo este binômio temos que:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

, ou seja, o termo médio é o 2ab, por estar justamente no CENTRO do desenvolvimento do binômio.

Considerando agora um binômio genérico, ou seja, (x+y)^n

, pela fórmula geral do Binômio de Newton, temos que:

$T_{p+1}=\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}x^ny^0+ \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}x^{n-1}y^1+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}x^{n-2}y^2+...$

Como a questão fala em 2° e 3° termo, não precisamos dar continuidade no desenvolvimento. Os coeficientes destes termos são, respectivamente, $\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}$ .

Seguindo o que o enunciado diz, $\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}=54$

Vale lembrar que $\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}=C_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!p!}$

Desenvolvendo $\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}=54$ chegamos em n=-9

e

. Ficamos apenas com o valor positivo, ou seja, n=12

.

Isso significa, que desenvolvendo agora $(x+y)^{12}$ teremos $T_1,\;T_2,\;T_3,\;...\;,\;T_{13}$ termos.

Basta você verificar de 1 ao 13 qual é o termo central.

:y:

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