Distância de ponto à reta

por **Jonatan** » Qua Jul 07, 2010 11:24

Pessoal, estava aqui estudando questões referente ao capítulo de distância de ponto à reta e me deparei com a seguinte questão, fonte UFMG:

Determine a equação da bissetriz do menor ângulo formado pelas retas de equações y = 0 e y = 3x.

Tentando fazer:

Chamei de reta r a de equação y = 0, ${m}_{r} = 0$
Chamei de reta s a de equação y = 3, ${m}_{s} = 3$

Concluí que a reta r é o próprio eixo x, correto? E a reta s é função linear (passa pela origem, tem seu coeficiente linear nulo; coeficiente angular diferente de zero), correto?
A partir daí, não sei como andar no exercício, o que faço agora? Grato desde já.

por **Tom** » Qua Jul 07, 2010 13:11

Seja

, cujo coeficiente angular é m_r=0

, e

, cujo coeficiente angular é m_s=3

.

Da interpretação geométrica do coeficiente angular, podemos calcular o ângulo agudo $\theta$ formado pelas retas:

Como m_r=0

, decorre que $tg\theta=3$ , isto é, $\theta$ é o ângulo que a reta

faz com a reta

, portanto, com o eixo

já que, de fato, a reta y=0

é o próprio eixo das abicissas.

Queremos a equação da bissetirz interna do ângulo $\theta$ . Note que o coeficiente linear da reta supracitada será nulo, já que a mesma também passa pela origem assim como as demais retas em questão. Além disso o ângulo que a reta bissetriz forma com o eixo

é $\dfrac{\theta}{2}$ , em decorrência da definição de bissetriz.

Concluímos assim, que o coeficiente angular da reta bissetriz será numericamente igual a: $tg(\frac{\theta}{2})$

Usando a relação de duplicação do arco para a função tangente, temos: $tg(\theta)=\dfrac{2tg\frac{\theta}{2}}{1-tg^2\frac{\theta}{2}}$

Chamando $tg(\dfrac{\theta}{2})=k$ , como $tg(\theta)=3$ , temos:

$3=\dfrac{2k}{1-k^2}\rightarrow 3k^2+2k-3=0$ e decorre em, $k=\dfrac{-2\pm\sqrt{40}}{6}$ , e como esse valor deve ser positivo pois o ângulo pertence ao primeiro quadrante, $k=\dfrac{-1+\sqrt{10}}{3}$ , que é o coeficiente angular da bissetriz.

Assim, a equação da reta bissetriz é: $y=\dfrac{(-1+\sqrt{10})x}{3}$

Distância de ponto à reta

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