(ITA-SP) Questão de Equações Algébricas

por **Carolziiinhaaah** » Sáb Jun 19, 2010 12:11

Sejam a1, a2, a3 e a4 números reais formandos,
nesta ordem, uma progressão geométrica crescente com a1 ? 0.
Sejam x1, x2 e x3 as raízes de a1x^3 + a2x^2 + a3x + a4 = 0

.
Resolva a equação sabendo que x1 = 2i.

gabarito: $S = {-2; \pm 2i}$

por **Douglasm** » Sáb Jun 19, 2010 21:44

A primeira coisa que notamos aqui é que -2i também é raiz. Agora calculamos P(2i) e P(-2i):

$P(2i) = a_1(2i)^3 + a_2(2i)^2 + a_3(2i) + a_4 = 0 \; \therefore \;$

P(2i) = (-8i)a_1-(4)a_2+(2i)a_3+a4

$P(-2i) = a_1(-2i)^3 + a_2(-2i)^2 + a_3(-2i) + a_4 = 0 \; \therefore \;$

P(-2i) = (8i)a_1-(4)a_2-(2i)a_3+a4

Somando P(2i) e P(-2i), encontramos:

$-8a_2 + 2a_4 = 0 \; \therefore \; a_4 = 4 a_2$

Como os coeficientes estão em uma progressão geométrica crescente, sabemos que:

$a_4 = a_2.q^2 \; \therefore \; a_4 = 4 a_2 \; \therefore \; q=2$

Deste modo temos:

$a_4 = 8a_1 \; ; \; a_3 = 4a_1 \; ; \; a_2 = 2a_1$

Lembrando que a soma das raízes da equação é dada por $\frac{-a_2}{a_1}$ :

$S_g = \frac{-a_2}{a_1} = \frac{-2a_1}{a_1} = -2 = 2i - 2i + \alpha$

Concluímos que a terceira raiz é -2.

$S = [-2\;,\;-2i\;,\;2i]$

Até a próxima.