Preparação para a OBM

por **mrmmo** » Qua Jun 02, 2010 22:30

Oi pessoal.

Eu sou aluno do Ensino Médio (curso o 1º ano) e mudei este ano para uma escola de maior porte. E pela 1ª vez vou participar da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM). A prova da 1ª fase será sábado, 12/06.

Baixei a prova do ano passado e tive certa dificuldade ao tentar resolver algumas questões. É necessário desenvolver raciocínios diferentes, e é sobre isso que queria discutir. Eu penso de forma padrão. Não estou acostumado com questões que exigem maior raciocínio...

Considero-me preparado em relação aos conteúdos (procedimentos), exceto por geometria, que não sinto muita segurança. No mais, queria discutir com vocês sobre alguns raciocínios da OBM. Se possível, gostaria que algumas questões fossem resolvidas de forma explicada, para que eu tenha uma noção mais aprofundada do que é necessário.

A propósito, parabéns pelo fórum e pelo trabalho desenvolvido. Sou administrador de um fórum e sei como é duro manter!

[]s, mrmmo

por **Douglasm** » Qua Jun 02, 2010 22:44

Olá mrmmo. Seja bem vindo ao fórum. Qualquer dúvida que tiver poste aqui pois estou certo de que não só eu, mas como muitos outros lhe ajudarão. Tal raciocínio ao qual você se refere costuma aparecer com o tempo, mas claro, desde que você pratique aumentando progressivamente seu nível. Como você ainda está no 1º ano, terá muitas oportunidades para desenvovê-lo. Se você gosta mesmo de matemática, (creio eu que seja assim, por conta da sua participação da OBM) não se contente apenas com o que te dão na escola, procure estudar mais por conta própria, procure alguns livros que aprofundem mais os assuntos (os livros usados nas escolas normalmente são muito "enxugados"). Um exemplo ótimo seriam os livros de geometria do Morgado, que são excelentes (mas que vão lhe ensinar mais do que você aprenderá durante todo seu ensino médio). Enfim, boa sorte!

por **mrmmo** » Qui Jun 03, 2010 12:45

Bem, tentei resolver a primeira página (questões 1 a 6) da prova da primeira fase (nível 3 - ensino médio). Senti certa dificuldade nas 5 primeiras. É bem diferente do que estou acostumado, então queria se saber que vocês poderiam demonstrar como resolvê-las e o raciocínio utilizado. A imagem está abaixo...
Imagem

E eu tô perdido na questão 4, minha geometria é precária pelo visto (e pelo visto boa parte é geometria...)

Moderação: No momento da criação deste tópico, outros dois idênticos foram criados. Solicito que o assunto seja discutido neste e que os outros dois sejam removidos (um possui uma mensagem, que gostaria que fosse movida pra cá).

por **Douglasm** » Qui Jun 03, 2010 14:26

Olá mrmmo. Vamos lá:

2) Podemos modificar a expressão 15m = 20n, veja só:

$\frac{m}{20} = \frac{n}{15}$

Multiplicando a expressÃão por 5:

$\frac{m}{4} = \frac{n}{3}$

Olhando para esta expressão e sabendo que m e n são ambos inteiros positivos, podemos afirmar que m deve ser múltiplo de 4 e n deve ser múltiplo de 3, logo:

n = 3k , k = 1,2,3,... e m = 4k' , k' = 1,2,3,...

Portanto:

mn = (3.4)k'' = 12k'' , k'' = 1,2,3,...

Resposta: Letra C - mn é múltiplo de 12

3) Para resolver essa, o processo é o seguinte:

1º- Determinar as raízes da equação:

$x^2 = x + 3 \; \therefore \; x^2 - x - 3 = 0 \; \therefore$

$x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\; ; \;x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$

2º - Elevar uma dessas raízes ao cubo:

$\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} + \frac{3\sqrt{13}}{8} + \frac{39}{8} + \frac{13\sqrt{13}}{8} \; \therefore$

$\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right)^3 = \frac{40}{8} + \frac{16\sqrt{13}}{8} = 5 + 2\sqrt{13}$

3º - Comparar esse resultado com a raiz original:

$x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$

$x^3 = 5 + 2\sqrt{13} = 2 + 2\sqrt{13} + 3 = 4\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right) + 3 = 4x +3$

Resposta: Letra D - x^3 = 4x + 3

4) Aqui eu fiz um desenho ilustrando somente as partes que interessam do quadrado. Os ângulos pretos são ângulos evidentes (25º foi dado como a rotação de um quadrado e 45º é o ângulo formado pela diagonal); os ângulos azuis são os ângulos deduzidos (lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º); o ângulo vermelho é a resposta:

quadrado giratório.jpg

Resposta: Letra D - 65º

5) Neste eu simplesmente fiz por tentativa. Somando todos temos 152, agora é só subtrairmos um por um e ver se o resultado é divisível pelo número subtraído. Por esse processo encontramos:

152 - 38 = 114 = 38 x 3

Resposta: Letra D - 38

6) Esta é uma simples questão de lógica.

Resposta: Letra E - Nenhuma das afirmações acima é certamente verdadeira.

Espero ter te ajudado. Sobre a geometria, o negócio é praticar.

Até a próxima.

OBS: Você disse ter dificuldade nas 5 primeiras, mas a questão 1 não aparece na figura.

por **mrmmo** » Qui Jun 03, 2010 15:42

Valeu cara!
A primeira não está por que eu resolvi sem maiores dificuldades, foi erro de digitação mesmo.
Eu já havia resolvido a 5ª e 6ª questões. A 2ª também, mas estava em dúvida sobre o procedimento.
A 3ª não. Fiz uma infinidade de cálculos e caí em equações sem saída. Realmente ter o raciocínio certo é imprescindível, até mesmo pelo tempo.
A 4ª estava totalmente perdido, obrigado por esclarecer alguns pontos.

Vou refazer os exercícios e partirei para a próxima página. Até a noite já terei postado!

Abraços.

por **mrmmo** » Qui Jun 03, 2010 18:39

Olá,

Tentei resolver a 2ª página (questões 7 a 12).

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A 7ª resolvi sem problemas. A 8ª (figura acima) não. Até tentei utilizar relações de polígonos regulares (criei outro triângulo oposto ao KLM, formando um quadrado):
$d = l\sqrt[2]{2}$

Mas chego à hipotenusa de valor $KM = 4\sqrt[2]{2}$
E lados LM = KL = 4

O lado não pode ser 4, uma vez que o do quadrado já o é e ambos não são iguais.

As demais:

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10) Eu dividi 360° pela quantidade de minutos que possui uma volta completa, chegando à conclusão que cada minuto move o ponteiro correspondente em 6°. Dividindo 145° por 6°, são cerca de 24 minutos, que me fez marcar a letra D. Porém, ao ver o gabarito, a correta é a E. Atribuí ao fato de o ponteiro das horas também se movimentar, mas não sei como chegar ao valor e à fração de tempo em que ela se movimenta. Você sabe?

11) Fiz por tentativa, comparando o número de divisores de dois números ímpares não-primos (9 e 15). É um pouco lógico, já que números pares possuem mais divisores e o dobro de um ímpar sempre é par. No entanto, queria saber se há modo mais prático de fazer.

12) Não sei como proceder em questões desse tipo. *-)

Abraços, obrigado.

por **Douglasm** » Qui Jun 03, 2010 20:27

Vamos lá.

8) Aqui o mais interessante é tentar determinar os valores de DK e CM pois eles vão nos dar as bases do trapézio CDMK. Eu fiz uma figura que creio demonstrar o raciocínio usado de modo satisfatório. Nela, ângulos iguais tem cores iguais (lembrando que os ângulos "azul" e "verde" são complementares, ou seja, somados resultam em 90º).

obm1.jpg

Vendo que as bases são x e y e que x+y = 4 (lado do quadrado), calculamos a área:

$A = B_m h = \frac{x+y}{2}.4 = 2.4 = 8\;u.a.$

Resposta: Letra B

10) Aqui seu erro foi calcular apenas o movimento do ponteiro dos minutos, sem considerar o ponteiro das horas. Você já notou que o ponteiro dos minutos se move 6º/min, mas veja também que o ponteiro das horas se move 0,5º/min (360º/12h = 360º/720min). Deste modo, o afastamento relativo entre eles é de 5,5º/ min. Agora sim podemos calcular o tempo que levará para que o ângulo entre eles seja de 145º:

$t = \frac{145}{5,5} \approx 26,4\; min$

Resposta: Letra E

11) Aqui não creio haver jeito mais prático. A resposta se chega por deduções simples, testando alguns números você já chega a conclusão de que n é um número ímpar.

Resposta: Letra C

12) Esse é um problema de análise combinatória, pode ser resolvido só usando um pouco de lógica:

Primeiramente contemos o número de modos de escolher os dois livros que estarão nos seus lugares originais: Pode-se escolher qualquer um dos 5, depois qualquer um dos 4, resultando em 5.4 = 20 possibilidades de escolha. Mas como a ordem em que se escolhem esses livros não é importante (só interessa escolher 2 dentre os 5) devemos dividir essa quantia por 2, para descontar as vezes que contamos pares iguais, resultando em 20/2 = 10 pares de livros possíveis.

Agora só temos que contar de quantos modos podemos organizar os livros restantes: Como estes não podem voltar aos seus lugares de origem, o primeiro livro a ser posto na estante pode ocupar 2 lugares, os outros dois ficam então com seus lugares definidos.

Sendo assim, o número de modos de realizar esta tarefa é de: 2.10 = 20 modos

Resposta: Letra A

Seria interessante que você, ao postar mais questões, incluísse também as respostas. Até a próxima.

por **mrmmo** » Qua Jun 09, 2010 12:22

Olá,

Desculpe a demora em responder, é que não posso deixar as outras matérias de lado...
Vou disponibilizar a prova completa, já a acabei.
As que queria que alguém resolvesse (e suas respostas, como pedido):

15 (c), 16 (c), 20 (e), 22 (a) e 25 (c).

Prova:
.doc - http://www.obm.org.br/export/sites/defa ... ivel_3.doc
.pdf - http://www.obm.org.br/export/sites/defa ... ivel_3.pdf

Abraços e obrigado mais uma vez.