Equação que está me tirando os cabelos rs

por **matmat2** » Dom Mai 30, 2010 21:25

raiz cubica (2x-1) - raiz cubica (x-1) = 1

(2x-1)^1/3 - (x-1)^1/3 = 1

oriunda de ex. de fisica

não consigo desenvolver, as respostas caso ajude são 1 e 2(14+3*raizquadrada 21)

muito obrigado a quem conseguir desenvolver

por **Mathmatematica** » Sáb Jun 05, 2010 05:35

Vamos tentar desenvolver... (Primeiramente, olá.

)

$\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{x-1}=1$

Essa é uma equação irracional. Vamos então impor as condições de existência. Como 1>0

então devemos ter que $\sqrt[3]{2x-1}>\sqrt[3]{x-1}$ ou devemos ter que $\sqrt[3]{2x-1}<\sqrt[3]{x-1}$ (pois podemos ter resultados negativos: raiz de índice ímpar). Para o 1º caso temos que $2x-1>x-1\Longrightarrow x>0$ . Mas isso só ocorre se $2x-1>0\Longrightarrow x>\dfrac{1}{2}$ e $x-1>0\Longrightarrow x>1$ . Fazendo a intercessão (vamos interceder para que eu nunca mais cometa esse erro), digo interseção das inequações teremos que x>1

satisfaz o primeiro caso.

Para o 2º caso temos a inversão das inequações, certo? Sendo assim teremos x<0

e $x<\dfrac{1}{2}$ e x<1

e a interseção dessas condições nos dá x<0

. Se

é solução dessa inequação então $k\in\mathbb R-[0,1]$ . Logo a(s) solução(ões) dessa inequação não está entre zero e 1, inclusive.
Vamos aos cálculos:

$\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{x-1}=1$

$(\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{x-1})^3=1^3$

$(2x-1)-3\sqrt[3]{(2x-1)^2(x-1)}+3\sqrt[3]{(2x-1)(x-1)^2}-(x-1)=1$

$2x-x-1+1-3\sqrt[3]{(2x-1)(x-1)}(\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{x-1})=1$

$x-1=3\sqrt[3]{(2x-1)(x-1)}(\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{x-1})$

Da primeira equação (que por sinal é semelhante às demais) temos que $\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{x-1}=1$ . Então:

$x-1=3\sqrt[3]{(2x-1)(x-1)}$

$(x-1)^3=27(2x-1)(x-1)\Longleftrightarrow (x-1)^3-27(2x-1)(x-1)=0$

$(x-1)[(x-1)^2-27(2x-1)]\Longrightarrow x-1=0 \ $ou$ \ (x-1)^2-27(2x-1)=0$

Então: $x=1 \ $ou$ \ x^2-56x+28=0$

$\Delta=3136-112=3024=2^4.3^2.21$

$x=\dfrac{56\pm 12\sqrt{21}}{2}\Longrightarrow x=28+6\sqrt{21} \ $ou$ \ x=28-6\sqrt{21}$

Perceba porém que $0<28-6\sqrt{21}<1$ . Então esse resultado não convém, pois não obedece às condições do problema. Sendo assim, os valores de x que satisfazem essa equação são $1 \ $e$ \ 28+6\sqrt{2}$ .

Observações:
_Qualquer erro, por favor, AVISEM!!!

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