Determine os valores de m

por **manuoliveira** » Qui Mai 06, 2010 17:48

Determine os valores de m, de modo que a equação cos² x + 2m cos x + m² - 1 = 0 admita raízes.

Eu sei que o cosseno tem que variar de - 1 a 1. E achei as raízes r1= -m -1 e r2= -m +1...
E agora...??

Resposta: -2 ? m ? 2

por **MarceloFantini** » Qui Mai 06, 2010 23:39

O cosseno está aí só pra confundir, é só resolver uma equação do segundo grau e impor discriminante maior ou igual a zero.

$\Delta = b^2 -4ac = (2m)^2 -4 \cdot (1) \cdot (m^2 -1) = 4m^2 -4m^2 +4 = 4$

Ou seja, esse discriminante SEMPRE será maior que zero, logo a equação dada sempre terá duas raízes, qualquer m ( $\forall m$ ).

por **Douglasm** » Sex Mai 07, 2010 09:22

Bom dia. Eu vou discordar da resposta de Fantini. Mesmo que o discriminante seja sempre positivo, estamos falando de cos x e não devemos deixar de aplicar os limites em que as raízes devem se encontrar para que sejam reais. Uma amostra disso é que se considerarmos m = 3, por exemplo, não teremos raízes reais (segue abaixo um link no wolfram com essa demonstração):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(cos+x)^2+%2B+6+cos+x+%2B+8+%3D+0+

Enfim, como a própria Manu já determinou as raízes é só colocarmos elas entre -1 e 1:

cos x = -m-1