Produto notável

por **matmatco** » Ter Nov 19, 2024 07:39

Seja x ∈ C não nulo tal que $\left(x + \frac{1}{x} \right)^2= 3$ . Determine o valor da expressão ${x}^{64}- {x}^{54}+{x}^{44}$ .

Notei que ${x}^{64}- {x}^{54}+{x}^{44} ={({x}^{6})}^{10}{x}^{4}-{({x}^{6})}^{9}+{({x}^{6})}^{7}{x}^{2}$ .

Fiz o seguinte desenvolvimento:
$\left(x + \frac{1}{x} \right)^2 \Rightarrow {x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}} = 1 \Rightarrow {x}^{4}- {x}^{2} + 1 =0$

Então fiz uma substituição de variável, $y = {x}^{2}$ , porém não possui raiz real e não consegui resolver. Depois pensei em continuar o desenvolvimento abaixo e encontrar o valor de ${x}^{6}$

$\left(x + \frac{1}{x} \right)^2 \Rightarrow {x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}} = 1 \Rightarrow {\left({x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{3} = {1}^{3} \Rightarrow {x}^{6}+ \frac{1}{{x}^{6}} = -2$

A partir daqui não consegui resolver

por **DanielFerreira** » Qua Nov 20, 2024 22:32

Olá matmatco, meus cumprimentos!

Essa primeira parte do enunciado tá completa?

$\mathtt{\left ( x + \frac{1}{x} \right )^2}$

No desenvolvimento que você fez, considerou igual a três...

por **matmatco** » Qua Nov 20, 2024 23:12

Olá Daniel, tudo bem?

Exato, não percebi que o erro de digitação.

por **DanielFerreira** » Seg Dez 16, 2024 20:30

Olá matmatco, desculpe a demora! As atividades docentes do dia a dia têm me deixado bem ocupado...!

Em relação à questão, eu tentei resolvê-la da primeira vez utilizando alguns artifícios da fatoração. Mas, não consegui finalizar. Na sequência, pensei em seguir de onde vc havia parado; só que não consegui visualizar... Depois, pensei numa saída muito trabalhosa - que era determinar o valor de "x" e depois substituir na expressão $\matttt{x^{64} - x^{54} + x^{44}}$ , afinal como $\mathtt{x \in \mathbb{C}}$ depois era só aplicar a primeira fórmula de Moivre.

por **DanielFerreira** » Seg Dez 16, 2024 20:41

matmatco escreveu:Seja x ∈ C não nulo tal que $\left(x + \frac{1}{x} \right)^2= 3$ . Determine o valor da expressão ${x}^{64}- {x}^{54}+{x}^{44}$ .

Notei que ${x}^{64}- {x}^{54}+{x}^{44} ={({x}^{6})}^{10}{x}^{4}-{({x}^{6})}^{9}+{({x}^{6})}^{7}{x}^{2}$ .

Fiz o seguinte desenvolvimento:
$\left(x + \frac{1}{x} \right)^2 \Rightarrow {x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}} = 1 \Rightarrow {x}^{4}- {x}^{2} + 1 =0$

Então fiz uma substituição de variável, $y = {x}^{2}$ , porém não possui raiz real e não consegui resolver. Depois pensei em continuar o desenvolvimento abaixo e encontrar o valor de ${x}^{6}$

$\left(x + \frac{1}{x} \right)^2 \Rightarrow {x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}} = 1 \Rightarrow {\left({x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{3} = {1}^{3} \Rightarrow {x}^{6}+ \frac{1}{{x}^{6}} = -2$

A partir daqui não consegui resolver

$\\ \mathtt{x^6 + \dfrac{1}{x^6} = - 2} \\\\ \mathtt{x^{12} + 1 = - 2x^{6}} \\\\ \mathtt{x^{12} + 2x^6 + 1 = 0} \\\\ \mathtt{(x^6 + 1)^2 = 0} \\\\ \boxed{\mathtt{x^6 = - 1}}$

Por fim, basta vc substituir...

matmatco escreveu:Notei que ${x}^{64}- {x}^{54}+{x}^{44} ={({x}^{6})}^{10}{x}^{4}-{({x}^{6})}^{9}+{({x}^{6})}^{7}{x}^{2}$ .

por **DanielFerreira** » Seg Dez 16, 2024 20:44

matmatco escreveu:Seja x ∈ C não nulo tal que $\left(x + \frac{1}{x} \right)^2= 3$ . Determine o valor da expressão ${x}^{64}- {x}^{54}+{x}^{44}$ .

Notei que ${x}^{64}- {x}^{54}+{x}^{44} ={({x}^{6})}^{10}{x}^{4}-{({x}^{6})}^{9}+{({x}^{6})}^{7}{x}^{2}$ .

Fiz o seguinte desenvolvimento:
$\left(x + \frac{1}{x} \right)^2 \Rightarrow {x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}} = 1 \Rightarrow {x}^{4}- {x}^{2} + 1 =0$

Então fiz uma substituição de variável, $y = {x}^{2}$ , porém não possui raiz real e não consegui resolver. Depois pensei em continuar o desenvolvimento abaixo e encontrar o valor de ${x}^{6}$

$\left(x + \frac{1}{x} \right)^2 \Rightarrow {x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}} = 1 \Rightarrow {\left({x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{3} = {1}^{3} \Rightarrow {x}^{6}+ \frac{1}{{x}^{6}} = -2$

A partir daqui não consegui resolver

$\\ \mathtt{x^6 + \dfrac{1}{x^6} = - 2} \\\\ \mathtt{x^{12} + 1 = - 2x^{6}} \\\\ \mathtt{x^{12} + 2x^6 + 1 = 0} \\\\ \mathtt{(x^6 + 1)^2 = 0} \\\\ \boxed{\mathtt{x^6 = - 1}}$

Por fim, basta vc substituir...

matmatco escreveu:Notei que ${x}^{64}- {x}^{54}+{x}^{44} =\boxed{{({x}^{6})}^{10}{x}^{4}-{({x}^{6})}^{9}+{({x}^{6})}^{7}{x}^{2}}$ .

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