exercicio resolvido

por **adauto martins** » Qui Mai 06, 2021 12:18

(ITA-1951)achar o volume de uma piramide regular de base quadratica cuja diagonal mede 4 m.e cuja aresta lateral mede 1,5m.

por **adauto martins** » Qui Mai 06, 2021 13:06

soluçao

aqui temos uma piramide regular(base de poligonos regulares,ou seja mesma medida dos lados),em nosso caso um quadrado.
mas a piramide nao pode ser reta(caso do ponto da base da altura estar no centro do poligono),pois aresta lateral e menor que 2m,ponto de encontro das diagonais.vamos a soluçao

o volume de uma piramide é dado por

${V}_{p}=(1/3).{A}_{b}.h$

${A}_{b}={l}^{2}...$

onde ${A}_{b}$ area da base,
h,l

altura e base respectivamente...

vamos calcular

as diagonais se interceptam ao meio,logo teremos
triagulos-retangulos isosceles de lados iguais a 2m...tomemos um triangulo e usando pitagoras teremos...

${l}^{2}={2}^{2}+2^2=8\Rightarrow l=2.\sqrt[]{2} {A}_{b}={l}^{2}={(2.\sqrt[]{2})}^{2}=8...$

agora vamos calcular a altura h...como dito,a piramide é nao reta,logo a base da altura nao esta no centro do quadrado,pois a aresta lateral de medida 1,5 é menor que 2...mas continua na reta que liga os pontos medios de lados opostos(mostre isso,aqui é usar o centro de gravidade da piramide...)
a piramide tera duas faces laterais iguais e duas outras faces diferentes...as duas faces iguais sao triangulos retangulos,mostra-se usando o criterio de semelhança LAL,sao as faces que contem a aresta lateral de 1,5...
tomemos uma dessas faces,teremos entao um tringulo-retangulo de medidas 1.5,2,x...x a determinar...usando pitagoas teremos

$x=\sqrt[]{(2.\sqrt[]{2})^2-(3/2)^2}=\sqrt[]{8-(9/4)}$

x é o segmento dessa face,que une o vertice ao lado e perpendicular a esse...
tomemos o triangulo constituido por x,h,e o ponto da base da altura que sera a metade do ponto medio do lado do quadrado,que mede
$\sqrt[]{2}...$

logo,usando pitagoras teremos

$x=\sqrt[]{23/4}=\sqrt[]{23}/2...$

${x}^{2}={h}^{2}+{\sqrt[]{2}}^{2}\Rightarrow h=\sqrt[]{(\sqrt[]{(23}/2))^2-2} h=\sqrt[]{(23/4)-2)}=\sqrt[]{15}/2... {V}_{p}=(1/3).{A}_{b}.h=(1/3).8.\sqrt[]{15}/2=(4/3)\sqrt[]{15}...$

por **adauto martins** » Qui Mai 06, 2021 18:25

correçao

$x=\sqrt[]{23}/2$ nao é o segmento que une o vertice ao lado do quadrado,perpendicular a esse,e sim a outra aresta lateral...entao,vamos calcular esse segmento(chamaremos de y...).usando o criterio de semelhança LAL,teremos

$y/(\sqrt[]{23}/2)=1.5/2\sqrt[]{2}=(3/2)/2\sqrt[]{2} \Rightarrow y=(3/8).\sqrt[]{23}...$

agora tomemos o triangulo com $y=(3/8).\sqrt[]{23},l=\sqrt[]{2},h$ ,determinaremos h.usando pitagoras teremos

$h=\sqrt[]{{((3/8).\sqrt[]{23}})^{2}-{(\sqrt[]{2}})^{2}} h=\sqrt[]{79/64}=\sqrt[]{79}/8$

${V}_{p}=(1/3).8.(\sqrt[]{79}/8)=\sqrt[]{79}/3...$

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