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Mensagempor adauto martins » Seg Mar 29, 2021 11:25

(ITA-1952)provar que todo numero complexo de modulo unitario,pode ser colocado sob a forma

(a+i)/(a-i),(a\in\Re)
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Re: exercicio resolvido

Mensagempor adauto martins » Seg Mar 29, 2021 11:43

soluçao

por hipotese foi dado que o complexo é unitario,logo

z.{z}^{-}=1\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}=1

onde z^-
é o complexo-conjugado de z,
z=x+yi...x,y\in\Re

provaremos que

(z+1)/(z^-+1)=z

(z+1)/(z^-+1)=(x+yi+1)/(x-yi+1)=((x+yi+1/(x-yi+1)).(x+yi+1)/(x+yi+1)...

continue,como exercicio,levando em conta a condiçao

x^2+y^2=1
por ser unitario...logo

z=((x+1/y)+i)/(x+1/y)-i...a=(x+1/y)
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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