Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

por **Guga1981** » Qua Nov 11, 2020 02:22

Bom dia, amigos!
Faço Licenciatura em Matemática na Univesp.
Gosto de assistir as video-aulas pausando os exercícios e resolvendo-os antes de ver a resposta.
Ao tentar fazer o exercício abaixo, a minha solução deu diferente da do professor.
Gostaria de uma opinião de vocês para eu saber se fiz certo e o professor se equivocou (às vezes acontece...) ou o contrário.
Segue o exercício (a minha resposta deu -12 e a do professor +24):

A temperatura em uma superfície é dada por z=f(x,y)= x²y - xy. Uma partícula se desloca sobre esta superfície pela curva γ(t)=(t²-3, 3t) [onde (t²-3) é a coordenada x(t) e 3t é a coordenada y(t)].
Determine a taxa de variação de temperatura, sofrida por esta partícula, no instante t=2.

por **Guga1981** » Sex Nov 13, 2020 10:44

Consegui resolver! O professor estava certo!

por **DanielFerreira** » Sex Nov 20, 2020 14:15

A taxa de variação da temperatura será dada por $\boxed{\mathsf{\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}}}$ , onde $\mathbf{z = x^2y - xy}$ , $\mathbf{x(t) = t^2 - 3}$ e $\mathbf{y(t) = 3t}$ .

Daí, temos que:

$\mathsf{\bullet \qquad \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy - y}$

$\mathsf{\bullet \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 - x}$

$\mathsf{\bullet \qquad \frac{dx}{dt} = 2t}$

$\mathsf{\bullet \qquad \frac{dy}{dt} = 3}$

Substituindo,

$\\ \mathsf{\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt} = (2xy - y) \cdot 2t + (x^2 - x) \cdot 3} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt} = 4txy - 2ty + 3x^2 - 3x} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 8xy - 4y + 3x^2 - 3x} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 8 \cdot (t^2 - 3) \cdot 3t - 4 \cdot 3t + 3(t^2 - 3)^2 - 3(t^2 - 3)} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 48 - 24 + 3 - 3} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 24}}}$