questao resolvida

por **adauto martins** » Seg Mai 18, 2020 16:34

mostre que a funçao derivada e inversa da funçao integral .

por **adauto martins** » Seg Mai 18, 2020 16:37

ta sem o LATEX...qdo estiver ok,aqui...resolvo...obrigado

por **adauto martins** » Seg Mai 25, 2020 16:34

para mostrarmos tal fato,teremos que provar
F(x)o f'(x)=f'(x)o F(x)

ou melhor

para tal,usaremos a definiçao da integral de riemann,em um intervalo(a,x),como se segue
$F(x)=\int_{a}^{x}f(x)dx= \lim_{{{\Delta}_{x}}_{i}\rightarrow 0}\sum_{i=0}^{n}f({t}_{i}){{\Delta}_{x}}_{i}$ ,onde
${t}_{i}\in{{\Delta x}_{i}}\in (a,x)... min({f}_{0},...,{f}_{n})\preceq f({t}_{i})\preceq max({f}_{0},...,f(n))$
usarei tal fato,para mostrar que a derivada de uma soma funçoes é a derivada das somas,ou seja

$d/dx({f}_{1}(x)+...+{f}_{n}(x))=d/dx({f}_{1})+...+d/dx({f}_{n})$ ,

que vem da propriedades da funçao derivada...(obs:a funçao integral difere da integral definida.a integral definida,associa o valor da funçao integral,em um intervalo de valores a um numero que é equivalente á area,abaixo curva definida por f(x).a funçao integral é uma familia de curvas,funçoes...),entao

$f'(F(x))=(d/dx)(\lim_{\Delta x...}\sum_{i=0}^{n}f(x){\Delta x}) =\lim_{\Delta x}(d/dx({f}_{0}{\Delta x}_{0}+...+d/dx({f}_{n}{\Delta x}_{n}) =\int_{a}^{x}(d/dx)f(x)dx=\int_{a}^{x}d(f(x))=f(x)-f(a) ...(1)$

$F(f'(x))=\int_{a}^{x}f'(x)dx=\int_{a}^{x}(df(x)/dx)dx= =\int_{a}^{x}d(f(x))=f(x)-f(a)...(2)$

logo (1)=(2)...

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