4y''+y'=0 qual relação recorrência? EDO em série de potência

por **Felipe** » Qua Mar 25, 2020 22:07

Alguém consegue explica o cálculo pra encontrar a relação recorrência da seguinte equação diferencial em série de potência? 4y''+y'=0
Obrigado

por **adauto martins** » Qui Abr 02, 2020 16:30

temos uma EDO homogenea(=0) de segunda ordem...
primeiro devemos achar y...entao
faz-se y'=p,e ambos dependo de um parametro t...
teremos
$4.p'+p=0\Rightarrow p'/p=-1/4 \int_{}^{}(p'/p)=\int_{}^{}(-1/4) ln\left|p \right|=(-1/4)t+c \left|p \right|={e}^{(-1/4)t+c}={e}^{c}.{e}^{(-1/4)t}=k.{e}^{(-1/4)t}$

como p é uma exponencial,logo p é positivo,teremos entao

$p=k.{e}^{(-1/4)t}$

logo,teremos

$y'=p=k.{e}^{(-1/4)t} dy/dt=k.{e}^{(-1/4)t} dy=k.{e}^{(-1/4)t}dt \int_{}^{}dy=\int_{}^{}(k.{e}^{(-1/4)t})dt y=(-k/4){e}^{(-1/4)t}+c$

como o problema nao traz condiçoes inicias de contorno,e o ponto onde expandir a serie...
vamos tomar p=0 , k=1 e c=0...

$y=(-1/4).{e}^{(-1/4)t}$

a expansao em serie de taylor y:

$y=\sum_{n=0}^{\infty}({f}^{n}(0)/n!).x^{n}$

$y=(-1/4)+(x/16)-({x}^{2}/64)+({x}^{3}/(3!64)+... y={(-1/4)}^{n+1}.\sum_{n=1}^{\infty}({x}^{n}/n!)$