Derivada

por **guilherme5088** » Sex Nov 01, 2019 18:42

determinar a constante a tal que a função f(x)=x^2+a/x tenha um mínimo local em x=2. Mostre que tal função não pode ter máximo local para nenhum valor de a.

por **guilherme5088** » Sex Nov 01, 2019 18:43

Eu consegui determinar o valor de a, derivando e igualando a 0 no ponto x=2, mas não entendi como justificar a segunda parte

por **adauto martins** » Sex Nov 01, 2019 21:52

$y={x}^{2}+(a/x)...y'=({x}^{2})'+a.(1/x)' y=2x+(-1).a/({x}^{2})\Rightarrow y'=0 (2.{x}^{3}-a)/({x}^{2})=0\Rightarrow x\neq 0...{x}^{3}=a/2 x=\sqrt[3]{a/2}$

bom para saber se $x=\sqrt[3]{a/2}$ é ponto de maximo ou minimo,devemos calcular a derivada segunda nesse ponto,entao:

$y'=2x-(a/{x}^{2})\Rightarrow y''=(2x)'-(a/{x}^{2})' y''=2-(-2)(a/{x}^{3})=(2{x}^{3}-2a)/{x}^{3}$
bom para se ter um minimo em x=2,teriamos que ter:

$y''(2)=(2.({2})^{3}-2a)/{2}^{3}\succ 0\Rightarrow (16-2a)\succ 8\Rightarrow -2a\succ -8 a\prec 4...$

agora vamos verificar a condiçao de a para que a funçao tenha um maximo,ou seja

$y''(\sqrt[3]{a/2})\prec 0... y''(\sqrt[3]{a/2})=(2.{\sqrt[3]{a/2}}^{3}-2a)/({\sqrt[3]{a/2}}^{3}) (2.(a/2)-2a)/(a/2)\prec 0\Rightarrow a-2a\prec (a/2)\Rightarrow -1\prec (1/2)$

fato esse que impoe y ter um maximo,pois

$y''(\sqrt[3]{a/2})=(2.{\sqrt[3]{a/2}}^{3}-2a)/({\sqrt[3]{a/2}}^{3}) y''(\sqrt[3]{a/2})=(2(a/2)-2a)/(a/2)=2(a-2a)/a=-2\prec 0...$

logo y tera maximo no ponto $x=\sqrt[3]{a/2}$

por **guilherme5088** » Sáb Nov 02, 2019 08:31

Acho que vc errou a segunda derivada, f"(x)= 2+2a/x^3.
Além disso, não entendi a parte final da resolução,pois a questão pede pra mostrar que a função NÃO pode ter máximo local para nenhum valor de a

por **adauto martins** » Sáb Nov 02, 2019 11:58

eh,vc esta correto meu caro guilherme.eu erro muito,quando muitos calculos,contas,e usando o LATEX é que erro mesmo.obrigado...vamos entao as questoes:
primeiro o problema pede um valor para a,de tal sorte,que o ponto seja de minimo:

$y={x}^{2}+(a/x) y'=2x-(a/{x}^{2})=(2.{x}^{3}-a)/{x}^{3}(1) y''=2+(2a/{x}^{3})=2.({x}^{3}+a)/{x}^{3}(2)$

$y''(2)=2.({2}^{3}+a)/{2}^{3}\succ 0$
condiçao para se ter minimo em x=2...

$2.(8+a)/8\succ 0\Rightarrow 8+a\succ 4... a\succ -4...$

agora vamos analisar a condiçao de a ser ponto de maximo:

$y''(a)\prec 0\Rightarrow y''(a)=2.({a}^{3}+a)/{a}^{3}\prec 0\Rightarrow (1+(a/{a}^{3}))\prec 0\Rightarrow$

$(1/{a}^{2})\prec -1... {a}^{2}\succ -1$ $\Rightarrow a\succ \sqrt[]{-1}$

nessa condiçao a nao pode ser real,logo a nao pode ser ponto de maximo...

por **guilherme5088** » Sáb Nov 02, 2019 12:13

Eu resolvi de outro jeito, não sei se ta certo.
f'(x)=2x^3-a/x^2 igualei a 0 para determinar o ponto crítico, para determinar se esse ponto é de máximo f"(c)<0, sendo que f"(c)=6 que é maior que 0 ou seja por contradição f só tem ponto de mínimo local e isso ocorre quando x=2.
x^3= a/2, a=16.
Posso resolver desse jeito?

por **adauto martins** » Sáb Nov 02, 2019 15:25

"determinar a constante a tal que a função f(x)=x^2+a/x tenha um mínimo local em x=2. Mostre que tal função não pode ter máximo local para nenhum valor de a."
meu caro guilherme,
a questao esta impondo uma condiçao,para se determinar um minimo em x=2...
em funçao desta condiçao,determinamos que a assume valores de $a\succ -4$ ,que eu cheguei e vc no que acabaste de concluir...anterormente,cheguei que y tera maximo ou minimo em $x=\sqrt[3]{a/2}$ ...logo,para x=2,teriamos

$\sqrt[3]{a/2}=2\Rightarrow (a/2)=8...a=16...$ foi o que vc fez,e esta correto...e que f''(2) é positivo,logo ter minimo...nessas condiçoes esta correto...

por **adauto martins** » Sáb Nov 02, 2019 15:36

envei antes,
vamos voltar a questao...

agora vamos testar porque y,nao tem maximo...como vc fez a correçao da minha derivada segunda...

$y''(\sqrt[3]{(a/2)})=2+(2a/{\sqrt[3]{(a/2)}}^{3})=2+(2a/(a/2)) y''(\sqrt[3]{(a/2)})=2+4=6\succ 0...$
o que mostra que y,so tera minimo,que de sua maneira esta correto...

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