exerc.resolvido-continuaçao

por **adauto martins** » Sex Nov 01, 2019 11:51

vamos fazer um pequeno estudo,usando o polinomio que calculamos anteriormente do exame da ESCOLA MILITAR DO REALENGO.o estudo de polinomios é extenso,mesmo a nivel medio e um desafio sempre,pois se trata de uma equaçao diofantina nao-linear(envolve potencias de x maiores que 1(um)) e encontrar suas raizes,ou seja p(x)=0,sera sempre um desafio,e isso é que mantem a ciencia,a matematica sempre viva,sempre em abertos...
vamos indepente da restriçao do dominio da funçao original,tomar o polinomio:
$p(x)={x}^{4}+2{x}^{3}-2x-2$

encontramos,de uma maneira suscinta,o intervalo de localizaçao das raizes(e tem diversos metodos para tal,e todos eficientes;um dos metodos mais eficiente é o de LAGUERRE,o qual vc usa p(x) e p(-x) e encontra as cotas superiores e inferiores...).no nosso caso achamos o intervalo[-3,3],para efeito de calculo rapido.
usaremos agora o teorema de bolzano(estude ai...),calculando:

$p(-3)={-3}^{4}+2{-3}^{3}-2(-3)-2=81-54+6-2=31\succ 0 p(3)={3}^{4}+2{3}^{3}-2.(3)-2=81+54-6-2=127\succ0$

logo $p(-3).p(3)\succ0$

pelo teorema de bolzano,teremos um numero par de raizes reais,ou nenhuma...

se o produto $p(-3).p(3)\prec 0$
teriamos um numero impar de raizes.

agora usaremos o criterio de DESCARTES, das trocas de sinas de p(x) e p(-x)
em p(x) temos (+,+,-,-) uma troca,ou seja a possibilidade de termos uma raiz real positiva...
em p(-x) temos (+,-,+,-) duas trocas,ou seja a possiblidade de termos duas raizes negativas...
como ja mostramos que $p(-3).p(3)\succ 0$ e teremos nunhuma ou um numero par de raizes.temos a seguite configuraçao:
podemos ter uma raiz positiva,uma raiz negativa ou duas raizes negativas e nenhuma positiva,pois como o polinomio é de quarto grau,podemos ter um par de raizes complexos-conjugado.pois nao existe uma so raiz complexa,e sim em pares de complexos-conjugados.um criterio para saber se ha raizes complexas é da pela "regra da lacuna" e 'regra de huat",que em suma diz:

se $p(0)\neq 0$ e se tomarmos algum $k(0\prec k \prec n)$

tivermos ${{a}_{k}}^{2}\preceq {a}_{(k-1)}.{a}_{(k+1)}...ou {a}_{(k-1)}.{a}_{(k+1)}\succ 0$

voltando ao nosso polinomio,teremos

$p(0)=-2\neq 0... tomemos [tex]k=3...{{a}_{3}}^{2}={2}^{2}=4\succ ({a}_{4}.{a}_{2})=1.0=0$

ou ${a}_{4}.{a}_{2}=1.0=0...$ ,ou seja nao temos um par de complexos-conjugados.

logo,poderemos ter ,pelo que frizamos ate o momento uma raiz real positiva e uma raiz real negativa,ou duas raizes negativas,ou nenhuma raiz...
encontra-las,se houver, faremos adiante,no momento eu queria fazer apenas essa pequena explanaçao...

por **adauto martins** » Sex Nov 01, 2019 22:10

correçao:
a "regra da lacuna",postei errado:
a regra diz:

se $p(x)\neq 0$ e para algum $k,(0\prec k \prec n)$

tivermos ${a}_{k}=0$ e ${a}_{(k+1)}.{a}_{(k-1)}\succ 0$ ,
entao p(x)

tera raizes complexas-conjugado.

e ainda se houver dois ou mais coeficientes consecutivos nulos,entao p(x) tera raizes complexos-conjugado.

as raizes calcularei pelo metodos das tangentes,metodo de newton-raphson...mais adiante...

por agora cansei um pouco de matematica...
ps-esse exercicio que é da ESCOLA MILITAR DO REALENGO(atual AMAN),do concurso á admissao a tal escola é de 1934,ou seja em 1933 cobravam para essas escolas superiores calculo,pensa.e calculo de qualidade,equiparado aos melhores cursos de calculo 1,de nossas melhores universiodades federais atual...mudou muito...

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