exerc.resolvido

por **adauto martins** » Ter Out 15, 2019 23:41

(IME-instituto militar de engenharia-exame 1959)
um numero complexo variavel tem,para a parte real, os valores ${x}^{2}-2$ e para parte imaginaria $x\sqrt[]{2}$ .qual o valor minimo do modulo desse numero?

por **adauto martins** » Ter Out 15, 2019 23:54

soluçao:

o numero em questao é:

$z=({x}^{2}-2)+(x\sqrt[]{2})i$

cujo modulo é calculado,como se segue:

$\left|z \right|=\sqrt[]{{({x}^{2}-2)}^{2}+({x\sqrt[]{2}}^{2})}...$
o que fazendo as contas e os algebrimos simples,chegaremos em:

$\left|z \right|=\sqrt[]{{x}^{4}-2{x}^{2}-1}$

derivando e igualdado a zero,teremos:

$d/x(\left|z \right|)=(-1/2)(\sqrt[]{(4{x}^{3}-4x})/({x}^{4}-2x+4)=0 \Rightarrow 4x(x-1)\Rightarrow x=1$
substituindo em $(\left|z \right|)=\sqrt[]{1-2+4}=\sqrt[]{3}$
para confirmar o minimo teriamos q. calcular a derivada segunda e ver q. ela assuime o valor negativo,isso deixo para os interessados...

por **adauto martins** » Qua Out 16, 2019 17:24

uma correçao,alias duas,mas o resultado é o calculado.

$(d/dx)\left|z \right|=(1/2).(4.{x}^{3}-4x)/(\sqrt[]{({x}^{4}-2x1)}$

e no caso de ponto de minimo a derivada seg. de $\left|z \right|$ é negativa(ponto de minimo)
...obrigado

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