exerc.proposto

por **adauto martins** » Qua Out 02, 2019 20:38

(epusp-escola politecnica da universidade de sao paulo-exame de admissao 1940)
determinar a distancia x da superficie de uma esfera de raio r deve ficar um ponto M,a fim de que a calota visivel desse ponto
seja uma fraçao (1/m) da superficie da esfera.

por **adauto martins** » Sáb Out 05, 2019 14:55

soluçao:
pegando "um gancho",como se diz,na questao anteriormente resolvida,da escola quimica,vamos resolver esse da politecnica de sao paulo.o raciocinio e similiar.
ps-esses vestibulares antigos,ditos exames de admissao,das escolas,universidades das ares de exata,como as engenharia,como posso ver cobravam muito,versando em geometria e polinomios.
voltemos ao exercicio,o qual pede-se a distancia x,da esfera,tal que determine uma fraçao de (1/m) da superficie da esfera.
a area de superficie de uma esfera ,como um todo e dado por:
${A}_{esf.}=2.\pi.{r}^{2}$ ,onde r e o raio da esfera.queremos determinar a area das coltas q. sao (1/m) da area superficial dessa esfera,ou seja:
${A}_{(cal.)}={A}_{(esf.)}/m\Rightarrow {A}_{(cal.)}=2.\pi.r.h \Rightarrow 2.\pi.r.h=2.\pi.{r}^{2}/m\Rightarrow h=r/m$ ,onde h e o ponto do plano de corte da calota ao ponto externo da esfera,que esteja na reta q. une,o ponto P(pontode luz),k ponto de intersecçao da reta com o plano de corte e O,centro da esfera.
como no exerc. anterior(escola de quimica),teremos 2 triangulos retangulos semelhantes que sao o PTO,pKT...
fazendo as devidas proporçoes teremos:
sabendo que $PT=\sqrt[]{{(x+r)}^{2}+{r}^{2}}$ ...
$x+h/PT=PT/{(x+r)}^{2}\Rightarrow x+h={PT}^{2}/{(x+r)}^{2}\Rightarrow x+h=({(x+r)}^{2}+{r}^{2})/{(x+r)}^{2}...$

agora e isolar x,sabendo que h=r/m...termine-o...

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