exerc.proposto

por **adauto martins** » Seg Set 16, 2019 15:51

(especex-escola preparatorio de cadetes do exercito-exame de admissao ao 1°ano-1952)
determinar o m.d.c de $4{x}^{4}-{x}^{2}+2x-1$ e $2{x}^{3}-{x}^{2}-2x+1$ .

por **DanielFerreira** » Ter Set 17, 2019 12:45

Fatoremos $\mathtt{2x^3 - x^2 - 2x + 1}$ ...

$\\ \displaystyle \mathsf{2x^3 - 2x - x^2 + 1 =} \\ \mathsf{2x \cdot (x^2 - 1) - 1 \cdot (x^2 - 1) =} \\ \mathsf{(x^2 - 1) \cdot (2x - 1) =} \\ \boxed{\mathsf{(x + 1)(x - 1)(2x - 1)}}$

Por Briot-Rufini, podemos verificar se cada um dos fatores acima é comum a forma fatorada de $\mathtt{4x^4 - x^2 + 2x - 1}$ . Segue,

- 1 | 4 ___ 0 ___ - 1 ___ 2 ___ - 1
___| 4 __ - 4 ____ 3 __ - 1 ___ 0

Ou seja, $\mathtt{4x^4 - x^2 + 2x - 1 = (x + 1) \cdot (4x^3 - 4x^2 + 3x - 1)}$

- 1 | 4 ___ 0 ___ - 1 ___ 2 ___ - 1
1/2| 4 __ - 4 ____ 3 __ - 1 ___ 0
___| 4 __ - 2 ____ 2 __0

Isto é, $\mathtt{4x^4 - x^2 + 2x - 1 = (x + 1) \cdot \left \(x - \frac{1}{2} \right ) \cdot (4x^2 - 2x + 2)}$

Resolvendo $\mathtt{4x^2 - 2x + 2 = 0}$ , tiramos que as raízes não pertencem ao conjunto dos números reais, portanto, não há mais fatores comuns com o outro polinômio.

Logo, o MDC é $\boxed{\boxed{\mathsf{(x + 1) \cdot (2x - 1)}}}$ .

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