[Limites] como essa divisão foi simplificada?

por **GandalfOAzul** » Sáb Set 14, 2019 01:21

Olá, amigos, após 1h batendo a cabeça mais um vez venho pedir ajuda

eu tenho esse limite (já resolvido):

$\lim_{x \to a}\frac{(\sin x - \sin a)}{(x - a)} = \frac{2\cos \frac{x + a}{2} \sin \frac{x - a}{2}}{(x - a)} = \frac{\cos \frac{x + a}{2} \sin \frac{x - a}{2}}{\frac{(x - a)}{2}}$

Ele foi resolvido dessa forma:

$\lim_{x \to a}\frac{(\sin x - \sin a)}{(x - a)} = \cos a \lim_{(x -a) \to 0}\frac{\sin \frac{x - a}{2}}{\frac{(x - a)}{2}} = \cos a$

Eu gostaria de saber o porquê disso $\frac{\cos \frac{x + a}{2}}{\frac{(x - a)}{2}}$ ser $\cos a$ .

Será que eu estou confundindo alguma coisa? Eu tentei entender e realmente não consegui. Obrigado desde já.

por **DanielFerreira** » Sáb Set 14, 2019 14:56

Olá GandalfOAzul!

GandalfOAzul escreveu:Eu gostaria de saber o porquê disso $\frac{\cos \frac{x + a}{2}}{\frac{(x - a)}{2}}$ ser $\cos a$ .

Lembre-se do Limite fundamental:

$\boxed{\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}}$

por **DanielFerreira** » Sáb Set 14, 2019 14:57

Olá GandalfOAzul!

GandalfOAzul escreveu:Eu gostaria de saber o porquê disso $\frac{\cos \frac{x + a}{2}}{\frac{(x - a)}{2}}$ ser $\cos a$ .

Lembre-se do Limite fundamental:

$\boxed{\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}}$

por **GandalfOAzul** » Sáb Set 14, 2019 20:43

Lembre-se do Limite fundamental

Eu não entendi bem o que o Sr. quis dizer.
Quando eu tentei resolver eu cheguei em um resultado assim: $\frac{\frac{a}{2}}{-\frac{a}{2}} = -\frac{a\cdot \:2}{2a} = \cos \left(-1\right) =\cos \left(1\right)$

Eu tô com um pouco de brain fog, talvez eu deva estudar mais, deixar esse problema de lado e resolver outros exercícios primeiro

De toda forma fica registrado meu muito obrigado.

Abraços :guy_hug:

por **DanielFerreira** » Ter Set 17, 2019 11:21

GandalfOAzul, revendo minha resposta e sua dúvida, percebo certa distância... Desculpe-me!!

Tem outro caminho... Espero que seja mais fácil de compreender, caso contrário, comente!

Inicialmente, façamos uma mudança de variável. Considere $\mathbf{x - a = k}$ . Assim,

$\\ \displaystyle \mathsf{\lim_{x \to a} = \frac{\sin x - \sin a}{x - a} =} \\\\\\ \mathsf{\lim_{x - a \to 0} \frac{\sin (k + a) - \sin a}{(k + a) - a} = } \\\\\\ \mathsf{\lim_{k \to 0} \frac{\sin (k + a) - \sin a}{k + a - a} = } \\\\\\ \mathsf{\lim_{k \to 0} \frac{\sin k \cdot \cos a + \sin a \cdot \cos k - \sin a}{k} = } \\\\\\ \mathsf{\lim_{k \to 0} \frac{\sin k \cdot \cos a + \sin a \cdot \left ( \cos k - 1 \right )}{k} = } \\\\\\ \mathsf{\lim_{k \to 0} \left [ \frac{\sin k \cdot \cos a + \sin a \cdot \left ( \cos k - 1 \right )}{k} \right ] = } \\\\\\ \mathsf{\lim_{k \to 0} \frac{\sin k \cdot \cos a}{k} + \lim_{k \to 0} \frac{\sin a \cdot \left ( \cos k - 1 \right )}{k} = } \\\\\\ \mathsf{\cos a \cdot \underbrace{\mathsf{\lim_{k \to 0} \frac{\sin k}{k}}}_{limite \ fundamental} + \sin a \cdot \underbrace{\mathsf{\lim_{k \to 0} \frac{\left ( \cos k - 1 \right )}{k}}}_{zero} = } \\\\ \mathsf{\cos a \cdot 1 + \sin a \cdot 0 =} \\\\ \boxed{\mathsf{\cos a}}$

por **GandalfOAzul** » Qua Set 18, 2019 12:01

DanielFerreira escreveu:GandalfOAzul, revendo minha resposta e sua dúvida, percebo certa distância... Desculpe-me!!

Tem outro caminho... Espero que seja mais fácil de compreender, caso contrário, comente!

HAHAHA sem problemas. Compreendi melhor agora :-D