Equação Polinomial

por **Flavio Cacequi** » Seg Jun 11, 2018 16:39

Dada a equação 4x^4-ax^3+bx^2-cx+d=0 de raízes x1,x2;x3;x4, positivas tal que:x1/2+x2/4+x3/5+x4/8=1.Calcule a maior raiz.
a)1/2
b)1
c)2
d)7/3
e)5/4

r:c

por **DanielFerreira** » Sex Set 13, 2019 21:42

Flavio Cacequi escreveu:Dada a equação 4x^4-ax^3+bx^2-cx+d=0 de raízes x1,x2;x3;x4, positivas tal que:x1/2+x2/4+x3/5+x4/8=1.Calcule a maior raiz.
a)1/2
b)1
c)2
d)7/3
e)5/4

r:c

$\\ \mathsf{\frac{x_1}{2} + \frac{x_2}{4} + \frac{x_3}{5} + \frac{x_4}{8} = 1} \\\\ \mathsf{20x_1 + 10x_2 + 8x_3 + 5x_4 = 40} \\\\ \mathsf{(5x_1 + 5x_2 + 5x_3 + 5x_4) + 15x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 40} \\\\ \mathsf{(5x_1 + 5x_2 + 5x_3 + 5x_4) + (3x_1 + 3x_2 + 3x_3) + 12x_1 + 2x_2 = 40} \\\\ \mathsf{(5x_1 + 5x_2 + 5x_3 + 5x_4) + (3x_1 + 3x_2 + 3x_3) + (2x_1 + 2x_2) + 10x_1 = 40} \\\\ \mathsf{5 \cdot (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) + 3 \cdot (x_1 + x_2 + x_3) + 2 \cdot (x_1 + x_2) + 10x_1 = 40 \qquad \qquad \qquad (i)}$

Suponha que:

$\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4}$

$\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 = 3}$

$\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 = 2}$

$\bullet \quad \mathsf{x_1 = 1}$

Substituindo esses supostos 'valores' na equação $\mathsf{(i)}$ ,

$\\ \mathsf{5 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 10 \cdot 1 = 40} \\\\ \mathsf{20 + 9 + 4 + 10 = 40} \\\\ \mathsf{43 = 40}$

O que é um absurdo! No entanto, ficou fácil notal que devemos subtrair três unidades de 43 para que a igualdade seja satisfeita. Desse modo, devemos reduzir $\mathsf{(x_1 + x_2 + x_3)}$ para 2, em vez de 3.

Daí, temos que:

$\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = \boxed{\mathsf{4}}}$

$\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 = \boxed{\mathsf{2}}}$

$\bullet \quad \mathsf{x_1 + x_2 = \boxed{\mathsf{2}}}$

$\bullet \quad \mathsf{x_1 = \boxed{\mathsf{1}}}$

Por fim, resolvendo o sistema

$\begin{cases} \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4} \\ \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 = 2} \\ \mathsf{x_1 + x_2 = 2} \\ \mathsf{x_1 = 1} \end{cases}$

Concluímos que as raízes são $\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ x_1, x_2, x_3, x_4 \right \} = \left \{ 0, 1, 2\right \}}}}$ , onde 1 tem multiplicidade dois!!

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