exercicio resolv.equaçoes diofantinas

por **adauto martins** » Seg Mai 28, 2018 18:49

seja a equaçao diofantina:
${x}^{2}-{y}^{2}=a...p/x,y,a\in Z$ ,mostre que a é impar.
soluçao:
para q. a equaçao tenha soluçao teremos q. ter:
mdc(x,y)=mdc(y,a)=mdc(x,a)=1

,ou seja:
primos dois a dois...logo,nao poderemos ter ambos x,y

pares.
e nem ambos impares,pois:se forem pares mdc(x,y) sera multiplo de 2 e refuta a condiçao de soluçao.se forem impares teriamos:
${x}^{2}-{y}^{2}={(2k+1)}^{2}-{(2t+1)}^{2}=2({k}^{2}+{t}^{2})-2(k+t)+2=2({k}^{2}+{t}^{2}-(k+t)+1)=2m$ ,q ´um numero par,e portanto divisivel por 2,o q. refuta a condiçao(mdc(x,y)=1) de termos soluçoes inteiras p. a equaçao diofantina dada.portanto a ,somente podera ser impar.
ou entao,
x,y

tem q. ser um par,outro impar.entao:
suporemos x,impar e y,par,logo:
$a={x}^{2}-{y}^{2}={(2k+1)}^{2}-{(2t)}^{2}=2(2({k}^{2}+{t}^{2})-(k+t))+1=2n+1...$
raciocinio analogo p/ ${x}^{2}+{y}^{2}=a...$

por **adauto martins** » Seg Jun 04, 2018 19:54

para ficar mais clara a condiçao de q. o par(x,y) nao poderem ser ambos impares,
usarei a ALGEBRA MODULAR.
todo impar quadradro é escrito como ${x}^{2}=1mod(4):$ ,x impar.
prova:
seja x um impar,logo:
${x}^{2}={(2k+1)}^{2}=4{k}^{2}+4k+1=4({k}^{2}+k)+1=4p+1,p\in Z...$ ,ou seja:
${x}^{2}\equiv 1mod(4)...$ ,entao:
${x}^{2}-{y}^{2}=4p+1-(4q+1)=4(p-q)=4r\equiv 0mod(4)$ q. contradiz a condiçao exposta acima...
obs:

é tbem um impar quadrado,ou seja:
$a={b}^{2},b impar$ $a={b}^{2},b //impar$ ...

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