Interseção entre áreas (Integrais)

por **thejotta** » Seg Abr 30, 2018 16:52

A área de A ? B, onde

A={ (x,y) ?R2:0 ? x ? ?/2, 0 ? y ? c o s x }

B={ (x, y) ?R2: 0 < x < ?/2, sin x ? y ? 1}

é igual a:

a)(?2 - 1) /2
b)?2 /2
c)?2 - 1
d)1
e)?2

Não estou conseguindo resolver essa questão, alguém pode me ajudar?

o que eu fiz: Calculei a área de
A = 1
B = ?/2 -1

Sei que o gabarito é letra C. mas não sei como chegar nesse resultado.

por **Gebe** » Ter Mai 01, 2018 00:03

Sempre que possivel faça o desenho!

: area.png (6.36 KiB) Exibido 11019 vezes

A area destacada é a pedida, portanto precisamos primeiramente achar onde as duas senoides se tocam, ou seja, sen(x) = cos(x).
Neste intervalo a intersecção acontece em pi/4 (ou 45°).

Agora para calcular a area de intersecção podemos calcular a area abaixo do cosseno entre 0 e pi/4 e subtrair a area abaixo do seno entre 0 e pi/4:
$\\ area=\int_{0}^{\frac{pi}{4}}cos(x)dx-\int_{0}^{\frac{pi}{4}}sen(x)dx\\ \\ \\ area=\left[sen\left(\frac{pi}{4} \right)-sen(0) \right]-\left[-cos\left(\frac{pi}{4} \right)-\left( -cos(0) \right) \right]\\ \\ \\ area=\frac{\sqrt{2}}{2}-0+\frac{\sqrt{2}}{2}-1\\ \\ \\ area=\sqrt{2}-1$

Espero ter ajudado, bons estudos.