Continuidade em um ponto

por **elisafrombrazil** » Qua Jan 18, 2017 08:13

Mostre, pela definição formal de limites, que para f(x) = x², f(x) é contínua em x = 1,

$\lim_{x \to 1} x^2 = 1$

por **adauto martins** » Qua Jan 18, 2017 11:50

dado um $\epsilon \succ 0$ ,existem infinitos $\delta \succ 0$ (mostre isso) tal que:
para $0\prec \left|x-1 \right|\prec \delta$ $0\prec \left|x-1 \right|\prec \delta$ ,teremos sempre:
$\left|{x}^{2}-1 \right|\prec \epsilon...$ de fato,
tomemos $\left|{x}^{2}-1 \right|=\left|(x+1).(x-1) \right|\preceq \left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec \left|x+1 \right|.\delta...$ ,temos por hipotese q. $0\prec\left|x-1 \right|\prec \delta\Rightarrow \left|x-1 \right|\preceq \left|x+1 \right| \preceq \left|x \right|+1 = \delta \Rightarrow \left|x \right|\prec \delta -1,\left|x \right|=\delta -1$ ...,como devemos buscar sempre o valor minimo de $\delta$ ,podemos ter:
$\left|{x}^{2}-1 \right|=\left|x+1 \right|.\delta\preceq (\left|x \right|+1).\delta[tex]=(\delta -1 +1).\delta={\delta}^{2}$ [/tex],tomaremos $\epsilon={\delta}^{2}$ portanto:
$\left|{x}^{2}-1 \right|\preceq \left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec {\delta}^{2}=\epsilon...$

por **elisafrombrazil** » Sex Jan 20, 2017 10:12

Como chegar em $\delta = min(1,\frac{1}{3}\epsilon)$ ?

por **adauto martins** » Sex Jan 20, 2017 16:41

se vc estudar o q. te indiquei vc vera q. $0\prec (\epsilon,\delta)\prec 1$ ,sao intervalos q. contem o ponto em questao,ou seja o limite da funçao prox. ao ponto,qto menor for esse intervalo,no caso $\delta$ ,mais precisa sera a MEDIDA...entao:
$\left|x \right|-1 \preceq \left|x-1 \right|\prec \delta\Rightarrow \left|x \right|\prec \delta+1...$
$\left|{x}^{2}-1 \right|=\left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec (\left|x \right|+1+1)\delta$ ,agora podemos tomar valores prox. a x=1,e encontrar um $\delta$ ,q. satisfaça nossa MEDIDA(nao esqueça MEDIDA)...logo, $(1+1+1)\delta=\epsilon \Rightarrow \delta=\epsilon/3...$ ,como havia dito $0\prec (\epsilon,\delta)\prec 1$ ,podemos tomar a menorMEDIDA, q. se encontra no intervalo
$(\epsilon/3,1)$ ,uma MEDIDA melhor e mais precisa seria o intervalo $((\epsilon/n)n\rightarrow\infty,1)...$

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