[Aplicação de derivadas] Taxa de variação

por **cesarguedes** » Ter Out 25, 2016 20:58

Boa noite, não estou conseguindo resolver o seguinte exercício:

Um cabo de cobre tem diâmetro de 1cm a 0ºC. Suponha que seu comprimento é de 1m e não se altera com a variação da temperatura. Se seu diâmetro aumenta a uma velocidade de 0,02cm/ºC, calcule a taxa de variação do volume desse cabo quando a temperatura está a 20ºC.
resposta= 1,4 $\pi$

Tenho os dados:
d= 1cm
h= 100cm (constante)
dd/dt= 0,02cm/ºC
E quero descobrir dV/dt quando a temperatura for 20ºC
Imaginei que o cabo de cobre seja uma forma cilíndrica, logo a fórmula é $\pi$ r².h
Derivei (tomando raio como d/2) e surgiu dV/dt= ( $\pi$ .1.100)/2
Porém, prosseguindo, não encontro a resposta certa.

por **adauto martins** » Sex Out 28, 2016 10:43

$dV/d\theta=(dV/dr).(dr/d\theta)$ ,regra da cadeia...onde $V(volume),r(raio),\theta(temperatura)...$
temos q. $dr/d\theta=0.01$ ,pois d=2.r $\Rightarrow dr=0.01d\theta\Rightarrow \int_{1/2}^{r}dr=\int_{0}^{20}d\theta\Rightarrow r-1/2=(0.01)*20\Rightarrow r=0.7cm$ ,raio á temp.de 20°...logo:
$dV/d\theta=(d(\pi.{r}^{2})/dr).dr/d\theta=2*\pi*L*r*0.01=2*\pi*100*0.7*0.01=1.4*\pi$ ...

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