transformação linear

por **p1a2u3lo** » Dom Set 18, 2016 11:08

Mostrar que a transformacão linear A : R2 R3 A(x; y) = (x + y, x - y, y) e injetiva e
obter uma inversa a esquerda linear.

por **adauto martins** » Qua Jan 11, 2017 14:47

para que $A:{\Re}^{2}\rightarrow {\Re}^{3}$ ,teremos q. ter A(x,y)=(0,0,0),x=y=0

...
de fato,
$A(x,y)=(x+y,x-y,y)=(0,0,0)\Rightarrow x+y=0 x-y=0 y=0 \Rightarrow x=y=0...$

para se ter uma inversa,qquer q. seja a multiplicaçao(a direita ou esquerda),deve-se mostrar q.

é sobrejetiva...

seja $v=(a.(x+y),b(x-y),c.y)=x.(a+b)+y.(a-b+c)\Rightarrow [a(1,1,0),b(1,-1,0),c(0,0,1)]$ é uma base p/ IM(A)...logo dim(IM)=3...A é sobrejetiva....portanto admite inversa...entao:
${A}^{-1}.A=I...$ ...calcule ${A}^{-1}$ ,como exercicio...

por **adauto martins** » Qui Jan 12, 2017 12:00

uma correçao:
a transf. $A:{\Re}^{2}\rightarrow {\Re}^{3}$ ,nao é sobrejetiva,pois:
$v=(x+y,x-y,y)=x(1,1,0)+y(1,-1,0)\Rightarrow [(1,1,0),(1,-1,0)]$ é uma base de IM(A),logo
$dim(IM)=2\neq 3$ ,portanto nao é sobrejetiva...
logo admite,por ser injetiva somente multiplicaçao á esquerda de A...
$\exists {A}^{-1}/ {A}^{-1}.A={I}_{({\Re}^{2})}...$ ...
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
bom ai agora é achar os valores de a,b,c,d...

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