exercicio resolvido

por **adauto martins** » Qua Jul 20, 2016 18:35

mostre que o triangulo de area maxima é isosceles.
soluçao:
dado um triang.qquer,seja x,y,lados e b,base e h altura...
sejam $0 \preceq \theta \prec \pi$ ,o angulo q. x faz com b e $0 \preceq \alpha \prec \pi$ ,o angulo q. y faz com a base b...teremos entao,usando a lei dos cossenos q.:
${y}^{2}={b}^{2}+{x}^{2}-2xbcos\theta... {x}^{2}={b}^{2}+{y}^{2}-2ybcos\alpha$ $\Rightarrow {y}^{2}-{x}^{2}=-({y}^{2}-{x}^{2})+2b(ycos\alpha-xsen\theta)$
$\Rightarrow b={y}^{2}-{x}^{2}/(ycos\alpha-xcos\theta)$ ... $h=xsen\theta$ ,logo:
${A}_{t}=b.h/2\Rightarrow A=(1/2)({y}^{2}-{x}^{2}.xsen\theta)/(ycos\alpha-xcos\theta)$ ,tomamos entao:
$dA/d\theta=({y}^{2}-{x}^{2}).xcos\theta.(ycos\alpha-xcos\theta)-({y}^{2}-{x}^{2})x.sen\theta.xsen\theta)/{(ycos\alpha-xcos\theta)}^{2}$ ,aqui usei a derivada do quociente...entao para:
$dA/d\theta=0\Rightarrow ({y}^{2}-{x}^{2}).(xcos\theta(ycos\alpha-xcos\theta)-{x}^{2}{sen\theta}^{2})=0$
$\Rightarrow {y}^{2}-{x}^{2}=0...(1) x(cos\theta(ycos\alpha-xcos\theta)-x{sen\theta}^{2})=0...(2)$
de $(1)...temos...p/x,y\succ 0\Rightarrow x=y$
de $(2)...temos...cos\alpha.cos\theta=(x/y)... como cos\alpha\preceq 1...cos\theta\preceq 1\Rightarrow (x/y)=cos\alpha.cos\theta\preceq 1\Rightarrow x\preceq y...$
logo por $(1)e(2)\Rightarrow x=y...$ ...cqd

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