exercicio proposto:gradiente

por **adauto martins** » Ter Jun 28, 2016 11:05

mostre q. a direçao do gradiente de uma funçao $f:V\rightarrow V$ ,onde

é um espaço vetorial sobre um corpo

é dado por:
$\theta=arctg({f}_{x}/{f}_{y})$ ,onde ${f}_{x},{f}_{y}$ sao derivadas parcias e $\theta$ um angulo do circulo trigonometrico.

por **adauto martins** » Ter Jun 28, 2016 14:54

uma correçao:
$\theta=-arctg({f}_{x}/{f}_{y})$

por **e8group** » Dom Jul 03, 2016 21:06

Olá pelo que eu sei o conceito de gradiente se restringem as aplicações escalares (i.e. , funções definidas num aberto (ou subconjuntos mais gerais de ) K^n

valorada em K , onde K pode ser tanto os reais quanto os complexos .. Não pode ser um corpo arbitrário , se não cai no problema de não ter ponto acumulação .. Pensa num negocio esquisito como $\mathbb{Z}_{5}$ etc .. ) .. Para falar de ângulo é preciso ter produto interno então qm sabe há uma generalização para Hilbert spaces .. para aplicações entre espaços de Banach (podendo ser não completo contitua fazendo sentido ) a noção de derivada num ponto faz sentido , mas agora será uma transformação afim que melhror aproxima a função perto do ponto ... De forma análoga , a noção de derivada parcial faz sentido para função entre espaços normados só que agora o espaço precisa ser decomposto como soma direta para introduzir tal definição ..

por **adauto martins** » Seg Jul 04, 2016 10:56

caro santiago,
vc estuda matematica?ou...?...
pelo visto como te disse a um tempo atras,e creio vc verificou,vc tira matematica nao sei de onde?desculpe-me...mas vc tem q. rever seus estudos de matematica...
gradiente é uma funçao vetrorial q.indica a direçao de maior crescimento de uma superficie(isso no caso de tratarmos de funçao no plano ou espaço)...o valor do gradiente é escalar,ai sim...procure rever seus conceitos,em especial de produto interno de espaços,ou espaços vetoriais finitos com produto interno e etc...

por **e8group** » Seg Jul 04, 2016 12:56

Olá , convenhamos , quem precisar rever seus conceitos é vc ! Pegue um bom livro de analise matemática e veja a def. de gradiente ou bom livros de calculus no R^n ..
Dada uma função (escalar) $f : U \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ .. Se $a \in U$ for ponto de acumulação de

e as derivadas parciais de f (que vou denotar-lás por $D_1(f)(a), \dots , D_n(f)(a)$ , como uma notação sugestiva para a generalização , para espaços mais gerais até de dim infinita ) .. Define-se então o vetor $Grad(f)(a) := ( D_1(f)(a) , \hdots , D_n(f)(a)) \in \mathbb{R}^n$ .. Agora , se U for aberto , todos os ponto dele serão de acumulação [Bom exercício ! Se não fez , faça ] , e se todas derivadas parciais de f existirem em todos pontos de U , a correspondência

$x \in U \mapsto grad(f)(x) \in \mathbb{R}^n$ define uma função (vetorial ) $grad(f) : U \longrightarrow \mathbb{R}^n$ .

Lembrando que a notação grad não é universal ..

Engraçado que a definição acima não condiz com seu argumento

"... o valor do gradiente é escalar,ai sim...procure rever seus conceitos,em especial de produto interno de espaços,ou espaços vetoriais finitos com produto interno e etc... "

Agora , há uma noção muito boa de diferenciabilidade para funções entre espaços normados (não necessariamente de dimensão finita ) , so que agora a derivada de desta função em um ponto não será mais um número , e sim uma transformação linear chamada Fréchet derivada ..

Veja aqui : https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_derivative

Observe que lá exige mais um pouco ainda que o espaço normado seja completo (no seq de cauch nele é convergente ) , i.e, que els seja um Banach space .. Isto é meramente por razões técnicas para fazer teoria com tal def ...

Pesquisando e ampliando os horizontes ... Verá que não só tem uma verão de analise calculo ODE PDE em espaço Banacch como em variedades diferenciáveis ..
Variedades diferenciavesi são mt importantes e aparece em mts problemas de sistemas dinamicos ..

por **adauto martins** » Seg Jul 04, 2016 16:21

blabla,blabla santiago...
estude matematica mesmo e pare de copiar do wiki,ou livros q. vc nao entende nada...
primeiramente um espaço vetorial e definido sobre um corpo...vc cita ${z}_{5}$ ,q. nao é corpo,é grupo...
o menor corpo é

(prove isso!se vc entender ne)...nao direi nada sobre espaços de banach,hilbert q. ne,se vc nao sabe o q. é um espaço vetorial?entao...
melhor vamos a sol.:
vou considerar $f:{R}^{3}\rightarrow {R}^{3}$ ,somente pra efeito de sintese,de ilustraçao,depois ,uma outra hora faço p/( $f:V\rightarrow V$ )...
como sabemos o vetor gradiente é sempre perpendicular a curva de nivel,no caso z(x,y)=c

...qquer ponto dessa curva é dado pelo vetor posiçao(x,y),cujo unitario pode ser dado por $u=(cos\theta,sen\theta)$ ,logo $\nabla f(x,y).u=0$ ,onde $\nabla f(x,y)$ é o vetor gradiente...logo,
$\nabla f(x,y).u=({f}_{x},{f}_{y}).(cos\theta,sen\theta)=0$ $\Rightarrow {f}_{x}.cos\theta + {f}_{y}.sen\theta=0\Rightarrow tg\theta=-{f}_{x}/{f}_{y}$ $\Rightarrow \theta=artg(-({f}_{x}/{f}_{y}))$ ,como a funçao arctg é uma funçao impar(prove isso!se entender) $\Rightarrow \theta=-artg({f}_{x}/{f}_{y})$ ...cqd...

por **e8group** » Seg Jul 04, 2016 17:33

Seu post só mostrar o quanto vc é ignorante e não tem se quer a humildade .. Meu caro , para ser um bom matemático pesquisador , primeiro vc precisa de uma boa base , para fazer matemática do século 21 ... Mas para isso isso não vem do nada .. E é preciso estudar toda a matemática que já estar ai a séculos ...

adauto martins escreveu:blabla,blabla santiago...
estude matematica mesmo e pare de copiar do wiki,ou livros q. vc nao entende nada...
primeiramente um espaço vetorial e definido sobre um corpo...vc cita {z}_{5},q. nao é corpo,é grupo...

Tem certeza ? Acho que vc precisa estudar mais álgebra abstrata ...

E mesmo se vc apenas um anel ... Os elementos deste anel poderia fazer os papel dos escalares (em um corpo ) oq exatamente a ideia da teoria de modules ..

$(\mathbb{Z}_5,+,.)$ é corpo sim ! Na verdade $(\mathbb{Z}_{p} , +, .)$ é corpo se e seomente

é primo !

E ainda qualquer domínio de integridade finito é um corpo ...

Humildade cara é bom ...