Encontrar limite de uma função

por **vitor12x** » Sáb Mai 21, 2016 18:58

Alguém pode me ensinar a como encontrar o limite da seguinte função?

$\lim_{x->\infty}\sqrt[2]{x^2+x}-x$

De acordo com o gabarito a resposta é 1/2, mas não consigo chegar até ela.

por **DanielFerreira** » Sáb Mai 21, 2016 22:43

Olá Vitor, seja bem-vindo!

$\\ \\ \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + x} - x = \\\\\\ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) \times \frac{(\sqrt{x^2 + x} + x)}{(\sqrt{x^2 + x} + x)} = \\\\\\ \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \\\\\\ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2\left ( 1 + \frac{1}{x} \right )} + x} = \\\\\\ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x\sqrt{\left ( 1 + \frac{1}{x} \right )} + x} = \\\\\\ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \left ( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1 \right )} = \\\\\\ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \\\\\\ \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \\\\\\ \boxed{\frac{1}{2}}$