Trajetórias ortogonais a familia a 1 parametro

por **jearaujo01** » Qui Mar 03, 2016 16:27

Olá, podem me ajudar?

Calcule as trajetórias ortogonais à família a um parâmetro
x^3 - 3xy^2 + x + 1 = c

por **adauto martins** » Seg Mar 07, 2016 21:29

$f(x,y)={x}^{3}-3x{y}^{2}+x+1-c\Rightarrow f'(x,y)=3.{x}^{2}-3.({y}^{2}+2.x.yy' )+1=0$ $\Rightarrow 3{x}^{2}-3{y}^{2}-6xyy'+1=0\Rightarrow y'=3{y}^{2}-3{x}^{2}-1/(6xy)$ ...como $y'=-1/{y'}_{0}\Rightarrow -1/{y'}_{0}=(3{y}^{2}-3{x}^{2}-1)/6xy$ $...{y'}_{0}=6xy/(3{x}^{2}-3{y}^{2}+1)$ $\Rightarrow 3{x}^{2}dy-3{y}^{2}dy+dy=6xydx$
...integrando ambos os membros $3{x}^{2}y-{y}^{3}+y+c=3{x}^{2}y+k \Rightarrow$ $y-{y}^{3}=C$

por **adauto martins** » Ter Mar 08, 2016 08:59

uma correçao...
a equaçao $(3{x}^{2}-3{y}^{2}+1)dy-6xydx=0$ recai em uma EDO EXATA,pois... M(x,y)dy+N(x,y)dx=0

tem se
$(\partial/\partial x)M(x,y)=(\partial/\partial y)N(x,y)=-6xy...$ ...logo se resolvera utilizando o metodo de EDO EXATA... maos a massa,resolva-a...obrigado

por **jearaujo01** » Ter Mar 08, 2016 19:26

Então, é exatamente ai que não estou conseguindo. Poderia resolver me explicando?

por **adauto martins** » Qua Mar 09, 2016 16:58

entao vamos á soluçao...
chegamos na EDO EXATA:
$(3{x}^{2}-3{y}^{2}+1)dy-6xydx=0,ou M(x,y)dy+N(x,y)dx=0...$ ...
onde constatamos q. $(\partial/ \partial x)M=(\partial/ \partial y)N=6y$ (q.é uma correçao da anterior)...
queremos entrar a funçao ${f}_{o}(x,y)=c$ q. é ortoganal a funçao dada f(x,y)=c

...
essa funçao sera ${f}_{o}(x,y)=\int_{}^{}M dy$ ou ${f}_{o}(x,y)=\int_{}^{}N dx$ ,pois $({\partial}^{2}/{\partial}^{2}x)M=({\partial}^{2}/{\partial}^{2}y)N$ ...vamos tomar $f(x,y)=\int_{}^{}N(x,y)dx=\int_{}^{}Ndx+h(y)$ ,h(y) pq é uma derivaçao parcial e a variavel y é contadada como se fosse uma constante nessa derivaçao...logo teremos:
$f(x,y)=\int_{}^{}(-6xy)dx+h(y)=-6y\int_{}^{}xdx+h(y)=-3y{x}^{2}+h(y)...$ ...
como $M(x,y)=(\partial/\partial y)f(x,y)=3x^{2}-3y^{2}+1$ teremos:
$-6{x}^{2}+h'(y)=3{x}^{2}-3{y}^{2}+1\Rightarrow h'(y)=3{x}^{2}+3{y}^{2}-1$ $\Rightarrow h(y)=3{x}^{2}y+{y}^{3}-y+K$ ...logo:
${f}_{0}(x,y)=-3y{x}^{2}+3y{x}^{2}+{y}^{3}-y+K={y}^{3}-y+K$