cáculo de limite

por **catabluma123** » Qua Fev 10, 2016 21:06

$\lim_{0} \frac{x+tgx}{x-tgx}$

fiz da seguinte forma: $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x+tgx}{x-tgx} = \lim_{x\rightarrow0} \frac{1+\frac{tgx}{x}}{1-\frac{tgx}{x}} = \lim_{x\rightarrow0} \frac{1+\frac{senx}{xcosx}}{1-\frac{senx}{xcosx}} = "\frac{2}{0}" = \infty$
o resultado na realidade é $-\infty$ , mas não entendo como fazer a analise do sinal do $\infty$ . alguém poderia me ajudar?

por **adauto martins** » Seg Fev 15, 2016 15:14

por **Cleyson007** » Seg Fev 15, 2016 16:02

Fazendo $tg\,x=\frac{sen\,x}{cos\,x}$ , temos:

$\lim_{x \to 0} \frac{x-\frac{\sin x}{\cos x}}{x-\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x+ \sin x}{x \cos x - \sin x} =\lim_{x \to 0}\frac{\cos x + \frac{\sin x}{x}}{\cos x- \frac{\sin x}{x}} = \frac{2}{0^{-}} = -\infty$

Observe também que utilizei o limite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

O resultado é negativo pois, para valores próximos à zero (ou seja, à esquerda ou à direita) o cosseno é negativo).

por **Cleyson007** » Seg Fev 15, 2016 16:12

Fazendo $tg\,x=\frac{sen\,x}{cos\,x}$ , temos:

$\lim_{x \to 0} \frac{x-\frac{\sin x}{\cos x}}{x-\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x+ \sin x}{x \cos x - \sin x} =\lim_{x \to 0}\frac{\cos x + \frac{\sin x}{x}}{\cos x- \frac{\sin x}{x}} = \frac{2}{0^{-}} = {\boxed{-\infty}}$

Observe também que utilizei o limite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

O resultado é negativo pois, para valores próximos à zero (ou seja, à esquerda ou à direita) o cosseno é negativo).

por **adauto martins** » Seg Fev 15, 2016 18:57

caro colega cleydson...
$\lim_{x\rightarrow 0}cosx=0...$ ,logo em sua resoluçao ficaria...
$\lim_{x\rightarrow 0}(cosx+senx/x)/(cosx-senx/x)=\lim_{x\rightarrow 0}(cosx+senx/x)/\lim_{x\rightarrow 0}(cosx-senx/x)=(0+1)/(0-1)=-1$

por **adauto martins** » Seg Fev 15, 2016 19:17

desculpe ai colega cleyson...comi um erro fundamental... $\lim_{x\rightarrow 0}cosx=1$
mas reveja minha soluçao,q. é o valor de tal limite...esse limite é -1,e nao $-\infty$

por **Cleyson007** » Seg Fev 15, 2016 20:03

Caro Adauto,

o limite existe e é, de fato, - infinito (olhe o anexo por favor).

Repare novamente na solução que apresentei. Próximo à x = 0, a função cos x é menor que 1. Logo, o denominador será sempre negativo.

Atenciosamente,

Prof. Clésio

por **adauto martins** » Ter Fev 16, 2016 14:59

é vc esta com a razao caro prof.cleyson...comi um erro,q. verifiquei com expansao de series de taylor da funçao tg...no mais obrigado,adauto martins

por **Cleyson007** » Ter Fev 16, 2016 19:10

Sem problemas amigo..

Abraço,

Prof° Clésio

por **adauto martins** » Qua Fev 17, 2016 11:27

resolvendo a questao do fator negativo,duvida do colega catabluma...
$L=\lim_{x\rightarrow 0}(1+(tgx/x))/(1-tgx/x)=\lim_{x\rightarrow 0}-(1+(tgx/x))/((tgx/x)-1)$
$=-\lim_{x\rightarrow 0}(u+1)/(u-1)$ ... onde u=tgx/x