Como tirar a indeterminação

por **Nelio F Junior** » Seg Nov 02, 2015 22:18

Boa noite!

estou com um problema para tirar a indeterminacao em um serie e Fourier, ja jeguei nessa somatoria com + 1/pi mas nao consigo passar para n2

: somatoria.png (2 KiB) Exibido 4087 vezes

para poder chegar nessa outra resposta.

por **adauto martins** » Sex Nov 06, 2015 18:27

...logo pode ser expandida em uma serie de fourier...
$f(x)={a}_{0}/2+\sum_{1}^{\infty}({a}_{n}cos(n \pi t/L)+{b}_{n}sen(n \pi t/L))$ ...onde f(x)=0...n=2k-1,k=1,2,...

...logo,
$f(x)={a}_{0}/2+\sum_{1}^{\infty}({a}_{2k}cos(2k \pi t/2.\pi)+{b}_{2k}sen(2k \pi t/2.\pi)))$ = ${a}_{0}/2+\sum_{1}^{\infty}({a}_{2k}cos(kt)+{b}_{2k}sen(kt))$ ...onde...
${a}_{0}=1/2\pi\int_{0}^{2\pi}({(-1)}^{0}+1cos(0x)/(1-{0}^{2})\pi)dx=1/2\pi.\int_{0}^{2\pi}(2./\pi)dx=1/2\pi(2/\pi).2\pi=2/\pi\Rightarrow {a}_{0}=2. / \pi...$ ...
${a}_{2k}=1/2\pi\int_{- \pi}^{\pi}({(-1)}^{2k}+1)cos(kt)/(1-{(2k)}^{2}).\pi)dt=(1/2\pi)({(-1)}^{2k}+1)/( \pi. k(1-{(2k)}^{2})(sen(k(\pi))-senk(-k. \pi)=0$ ...
${b}_{2k}=1/2\pi\int_{- \pi}^{\pi}({(-1)}^{2k}+1)sen(kt)/(1-{(2k)}^{2}) \pi))dt$ = $=-(1/2\pi)({(-1)}^{2k}+1)/(1-{(2k)}^{2})k.\pi).(cos(k(\pi)-cos(-k.\pi))=$ $2/({(2k)}^{2}-1)k.{\pi}^{2}$ ...logo...
$f(x)={a}_{0}/2+\sum_{1}^{\infty}2.(sen(kt)/({(2k}^{2}-1)k{\pi}^{2})=1/\pi+2.sent/(3.{\pi}^{2})+\sum_{2}^{\infty}2.(sen(kt)/({(2k)}^{2}-1)k.{\pi}^{2})$ ...

por **adauto martins** » Dom Nov 08, 2015 12:22

uma correçao...
errei no calculo dos ${a}_{2k},{b}_{2k}...$ ...f(x) é uma funçao par,pois depende do cosseno...entao...
${b}_{2k}=1/2\pi\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{1}^{\infty}({(-1)}^{2k}+1/(1-{(2k)}^{2}).\pi)senkt.coskt dt=0$ ,pois senkt é impar e coskt é par,logo o produto sera impar,e a integral de uma funçao impar em intervalo simetrico é zero...
${a}_{2k}=1/2\pi\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{1}^{\infty}({-1}^{2k}+1/(1-{2k}^{2}.\pi)coskt.coskt dt=1/2\sum_{1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}(2/(1-{(2k)}^{2}.\pi){(coskt)}^{2}dt=1/2\sum_{1}^{\infty}(2/(1-{(2k)}^{2}.\pi)\int_{0}^{2 \pi}{(coskt)}^{2}dt=1/\pi\sum_{1}^{\infty}(1/(1-{(2k)}^{2}).\pi(senkt.coskt/k)[\pi,-\pi]+1/2\int_{0}^{2\pi}dt=$ $1/\pi\sum_{1}^{\infty}(1/(1-{(2k)}^{2}).\pi).\pi\Rightarrow {a}_{2k}=1/\pi\sum_{1}^{\infty}(1/(1-{(2k)}^{2})$

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