Encontrar a1 em uma progressão de 3 termos com razão variáve

por **parrala** » Dom Out 04, 2015 19:13

Olá boa tarde
Qual a formula matemática para encontrar a1 em uma progressão de 3 termos com razão variável conhecendo somente a média dos 3 termos e as razões entre os termos

Exemplo:
Sabendo que a média de a1,a2 e a3 é igual a 175,40 e que a razão de a1 para a2 é 1,12 e a razão de a2 para a3 é 1,6 qual é o valor de a1?
((a1+a2+a3)/3) = 175,40
q1=1,12
q2=1,6
a1= ??

Desde já muito grato
Ronqui

por **nakagumahissao** » Dom Out 04, 2015 21:36

parrala,

Não existe uma fórmula só para se resolver problemas como estes. Você precisará raciocinar adequadamente para cada caso. No caso em questão, se a média é:

$\frac{{a}_{1} + {a}_{2} + {a}_{3}}{3 } = 175,40\;\;\;\;\;[1]$

e as razões são:

q1=1,12
q2=1,6

e se considerarmos por hipótese que você esteja falando em uma sequência do tipo:

${a}_{1} = {a}_{1}$

${a}_{2} = {a}_{1} + {q}_{1} \;\;\;[2]$

${a}_{3} = {a}_{2} + {q}_{2}\;\;\;\;\[3]$

então, vamos tentar escrever a equação [1] somente em termos de uma só variável. Escolherei a1. Então, de [3], uitlizando [2], tem-se que:

${a}_{3} = {a}_{2} + {q}_{2} \Rightarrow {a}_{3} = {a}_{1} + {q}_{1} + {q}_{2}$

Trocando q1 e q2 pelos seus respectivos valores teremos:

${a}_{3} = {a}_{1} + 1,12 + 1,6 = {a}_{1} + 2,72\;\;\;\;\;[4]$

Como [2] já se encontra em função de a1, vamos agora substituir [2] e [4] em [1]:

$\frac{{a}_{1} + {a}_{2} + {a}_{3}}{3 } = 175,40 \Rightarrow \frac{{a}_{1} + {a}_{1} + {q}_{1} + {a}_{1} + 2,72}{3 } = 175,40$

$\frac{3{a}_{1} + 1,12 + 2,72}{3 } = 175,40$

$\frac{3{a}_{1} + 3,84}{3 } = 175,40$

$3{a}_{1} = 522.36$

${a}_{1} = 174,12$

Com este valor e utilizando nas equações [2] e [4], obtemos os outros valores desejados:

${a}_{2} = {a}_{1} + {q}_{1} \Rightarrow {a}_{2} = 174,12 + 1,12 \Rightarrow {a}_{2} = 175,24$

e

${a}_{3} = {a}_{1} + 2,72 \Rightarrow {a}_{3} = 174,12 + 2,72 \Rightarrow {a}_{3} = 176,84$

por **parrala** » Dom Out 04, 2015 21:51

Boa noite nakagumahissao , estou falando em uma sequência do tipo:

a1 = a1
a2 = a1 X q1
a3 = a2 X q2

Obrigado

por **nakagumahissao** » Seg Out 05, 2015 01:22

O raciocínio é bem semelhante.

$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}{3}= 175,40\;\;\; [1]$

${a}_{1}={a}_{1}$

${a}_{2}={a}_{1}{q}_{1}={a}_{1}1, 12\:\:\; [2]$

${a}_{3}={a}_{2}{q}_{2}={a}_{1}{q}_{1}{q}_{2}={a}_{1}(1, 12)(1, 6)$

${a}_{3}={a}_{1}(1,792) \;\;\; [3]$

Substituindo-se [2] e [3] em [1], tem-se que:

$\frac{{a}_{1} + 1,12{a}_{1} + 1,792{a}_{1}}{3}= 175,40$

$3, 912{a}_{1} = 526,20$

${a}_{1} = 134,509$