Encontrar a derivada de um integral

por **Elvis** » Seg Ago 17, 2015 13:43

Poderiam me ajudar com essa questão:

Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função:

$g(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{{t}^{3}+1} dt$

Se puderem explicar detalhadamente como resolver eu ficaria muito grato

por **nakagumahissao** » Seg Ago 17, 2015 14:40

Veja bem Elvis, $\frac{d}{dx}\left[\int_{a}^{x} f(t)dt \right] = f(x)$

Teorema:

Segundo teorema do Cálculo:

Se f é contínua em um intervalo aberto I contendo a, então, para cada x no intervalo,

$\frac{d}{dx}\left[\int_{a}^{x} f(t)dt \right] = f(x)$

O que o teorema fundamental do cálculo diz em simples palavras é que a derviação de uma integral resulta na própria função do integrando que neste caso é :

$\frac{1}{t^3 + 1}$

Só que em 'x'.

$g(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{{t}^{3}+1} dt$

$g'(x) = \frac{d}{dx}\left[\int_{1}^{x} \frac{1}{{t}^{3}+1} dt \right]$

$g'(x)= \frac{1}{{x}^{3}+1}$

$\blacksquare$

por **Elvis** » Seg Ago 17, 2015 15:23

Rapaz (complicado de escrever seu nome), muito obrigado, eu tinha criado um post anteriormente, mas tinha me atrapalhado na interpretação do problema, e pensei que deveria encontrar a integral dessa função, e não a derivada kkkk Talvez se lembre, mas também foi você que o comentou e notificou-me que isso não era um exercício tão simples.

Agora, poderia me tirar só mais algumas dúvidas?

1 - Só é possível fazer a operação que você fez se o limite superior da integral for igual a variável da função g, correto?

2 - Como eu poderia calcular a integral da função g? (Não precisa calcular, se fizesse um roteiro eu ficaria muito agradecido)

Desde já, agradeço.

por **nakagumahissao** » Seg Ago 17, 2015 17:25

Elvis,

Respondedo suas perguntas e fazendo algumas observações:

Não sei em que nível escolar está neste momento, mas independente disso, a resposta da primeira pergunta é: sim. No limite superior deverá ser a variável sim, pelo menos até onde estudei (Matemática, nível universitário)

Agora, existem duas respostas para a sua segunda pergunta:

Como eu poderia calcular a integral da função g?

1) Poderíamos fazer simplesmente:

$\int g'(x)dx = \int \frac{1}{x^3 + 1} dx$

E se o intervalo (1,h) fosse dado:

$\int_{1}^{h} g'(x)dx = \int_{1}^{h} \frac{1}{x^3 + 1} dx$

2) Agora, para realmente calcularmos esta integral, fazemos uso de algumas técnicas de integração e por isso, dependerá muito do seu grau de conhecimento de Cálculo I. Se você está terminando ou já está se aproximando do final do curso de Cálculo I, então você já deve ter visto estas técnicas. Se não viu, você somente terá o básico da integração ou seja, as formas mais básicas possíveis de funções para que sejam integradas como exercícios.

Vou resolver essa para você ver:

$g(x) = \int \frac{1}{x^3 + 1} dx$

Esta integral pode ser resolvida por Frações Parciais. Neste caso, para sabermos o tipo de fração parcial a ser utilizada, precisaremos primeiramente fatorar o denominador. Por tentativa e erro, sabemos que uma das raízes do denominador é x = -1. assim, dividindo-se x^3 + 1

por

, teremos:

$\frac{x^3 + 1}{x + 1} = x^2 - x + 1$

Logo:

x^3 + 1 =(x+1)(x^2 - x + 1)

Completando o quadrado em x^2 - x + 1

temos:

Assim, a fração parcial que precisaremos encontrar será:

$\frac{Ax + B}{x + 1} + \frac{Cx + D}{(x-1)^2 + x} = \frac{1}{x^3 + 1}$

$\frac{Ax^3 - Ax^2 + Ax + Bx^2 - Bx + B + Cx^2 + Cx + Dx + D}{x^3 + 1} = \frac{1}{x^3 + 1}$

Fatorando...

$x^3(A) + x^2(-A + B + C) + x(A - B + C + D) + (B + D) \equiv 1$

$A = 0 ;\;\;\;\;[1]$

$A - B + C + D = 0 \;\;\;\;\; [2]$

$-A + B + C = 0 \;\;\;\;\; [3]$

$B + D =1 \;\;\;\;\;[4]$

Resolvendo este sistema de equações encontraremos:

A = 0

$B = \frac{1}{3}$

$C = -\frac{1}{3}$

$D = \frac{2}{3}$

Assim:

$\int \frac{1}{x^3 + 1} dx = \int \frac{\frac{1}{3}}{x + 1} + \frac{-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}{(x-1)^2 + x} dx = \frac{1}{3}\int \frac{1}{x + 1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{2 - x}{(x-1)^2 + x} dx$

Solução da Primeira Integral:

$\frac{1}{3}\int \frac{1}{x + 1} dx = \frac{1}{3} \ln |x+1| + c_{1} \;\;\;\;\; [5]$

Segunda Integal:

$\frac{1}{3} \int \frac{2 - x}{(x-1)^2 + x} dx = \frac{1}{3} \int \frac{2 - x}{x^2 - x + 1} dx$

Podemos reescrever:

$\frac{2 - x}{x^2 - x + 1} = \frac{2}{2} \times \frac{2 - x}{x^2 - x + 1} = \frac{4 - 2x}{2(x^2 - x + 1)} =$

$- \frac{2x - 4}{2(x^2 - x + 1)} = -\frac{2x - 1}{2(x^2 - x + 1)} + \frac{3}{2(x^2 - x + 1)}$

Integrando, tem-se:

$-\frac{1}{3}\int \frac{2x - 1}{2(x^2 - x + 1)}dx + \frac{1}{3}\int \frac{3}{2(x^2 - x + 1)} dx =$

$= -\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{2(x^2 - x + 1)}dx + \frac{1}{2}\int \frac{3}{3(x^2 - x + 1)} dx =$

$=-\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1}dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx \;\;\;\;\;\;[6]$

Resolvendo a primeira integral de [6], tem-se que:

$-\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1}dx$

$u = x^2 - x + 1 \Rightarrow du = (2x - 1)dx$

$-\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1}dx = -\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{u(2x -1)} du = -\frac{1}{6}\int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{6} \ln |u| + c_{2} =$

$= -\frac{1}{6} \ln |x^2 - x + 1| + c_{2} \;\;\;\;\; [7]$

Resolvendo a segunda integram em [6], tem-se que:

$\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx \;\;\;\;\; [8]$

Mas:

$\frac{x^2 - x + 1}{4} = \left(x - \frac{1}{2} \right)^2$

Então, uma boa escolha para substituição será:

$u = x - \frac{1}{2} \Rightarrow du = dx \;\;\;\; [9]$

Usando [9] em [8], tem-se:

$\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + 1 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}} dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} dx =$

$= \frac{1}{2}\int \frac{1}{\left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}} dx = \frac{1}{2}\int \frac{4}{4 \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + 3} dx =$

$= \frac{1}{2}\int \frac{4}{4u^{2} + 3} dx \;\;\;\;\;[10]$

Vamos substituir em [10] por:

$u = \frac{\sqrt{3}}{2}\tan \theta \Rightarrow du = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^{2} \theta d\theta \;\;\;\;\; [11]$

$= \frac{1}{2}\int \frac{4}{3\left[\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\tan \theta \right)^2 + \frac{3}{4} \right]} \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^{2} \theta d\theta = \int \frac{\sqrt{3}\sec^{2} \theta }{\frac{9}{4}\left( \tan^{2} + 1 \right)} d\theta =$

$\int \frac{4\sqrt{3}\sec^{2} \theta }{9\sec^{2}} d\theta = \frac{4\sqrt{3}}{9} \theta + c_{3} \;\;\;\;\; [12]$

Revertendo-se usando [11] em [12] tem-se:

$u = \frac{\sqrt{3}}{2}\tan \theta \Rightarrow \tan \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}u \Rightarrow \tan \theta = \frac{2\sqrt{3}}{3}u \Rightarrow$

Aplicando-se [9]:

$\Rightarrow \tan \theta = \frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{1}{2} \right) \Rightarrow \theta = \arctan \left[\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{1}{2} \right) \right]$

Finalmente, substituindo-se este resultado em [12] temos:

$= \frac{4\sqrt{3}}{9} \arctan \left[\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{1}{2} \right) \right] + c_{3} \;\;\;\;\; [13]$

Juntando-se finalmente todos os resultados obtidos de cada integral, temos a resposta final:

$g(x) = \int \frac{1}{x^3 + 1} dx =$

$= \frac{1}{3} \ln |x+1| - \frac{1}{6} \ln |x^2 - x + 1| + \frac{4\sqrt{3}}{9} \arctan \left[\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{1}{2} \right) \right] + C$

Como pode observar, esta integral é bem complexa e a resolução de integrais depende do seu conhecimento de várias técnicas de integração ensinadas no Cálculo I: Substituição, Frações Parciais, Substituição Trigonométrica, Integração por partes, Tabelas de Integração, Fórmula de Taylor, Integração Numérica, etc.

$\blacksquare$