Limite com raíz cúbica

por **Rosi7** » Sex Ago 07, 2015 21:34

Gente não estou conseguindo fazer a multiplicação de forma correta, a questão é que mesmo fazendo de forma incorreta minha resposta está batendo com a do livro, pois sempre chego em um numero 1/infinito embaixo = 0, porém tem algo errado.. Eu sinto que tem algo, igual uma questão anterior que eu cortava tudo.. PS: Estou resolvendo o livro leithold por conta própria, não sei ao certo quantas vezes tentei fazer esta questão, mas foram vária e o máximo que chego é na resposta final zero. Embora eu não entendo o que faço na multiplicação, apenas estou usando (a^3-b^3) = a^2 + ab + b^2.

PS: Não posso usar derivada, estou em calculo I e só posso usa-lo na 3 unidade.. ou seja. Se alguém puder me ajudar, peço que seja no tradicional.

$\lim_{-\infty}\sqrt[3]{{x}^{3} + x} - \sqrt[3]{{x}^{3} + 1}$

por **nakagumahissao** » Sáb Ago 08, 2015 12:54

$\lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt[3]{{x}^{3} + x} - \sqrt[3]{{x}^{3} + 1}$

Veja bem, não é possível usar derivadas neste caso porque o problema não trata de uma indefinição que possivelmente você verá num futuro próximo. Temos que trabalhar com essas raízes de outra forma.

Vamos usar a seguinte identidade:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \Rightarrow a-b = \frac{a^2 - b^2}{a + b}$

Sendo que:

$a = \sqrt{x^3 + x}$

$b = \sqrt{x^3 + 1}$

Assim:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[3]{{x}^{3} + x} - \sqrt[3]{{x}^{3} + 1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\left(\sqrt[3]{{x}^{3} + x} \right)^{2} - \left(\sqrt[3]{{x}^{3} + 1} \right)^2}{\sqrt[3]{{x}^{3} + x} + \sqrt[3]{{x}^{3} + 1}} =$

$= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\left(x\sqrt[3]{1 + \frac{x}{{x}^{3}}} \right)^{2} - \left(x\sqrt[3]{1 + \frac{1}{{x}^{3}}} \right)^2}{x\sqrt[3]{1 + \frac{x}{{x}^{3}}} + x\sqrt[3]{1 + \frac{1}{{x}^{3}}}} = \frac{x^2 - x^2}{x + x} = \frac{0}{2x} = 0$

Lembrando que (Explicarei o que ocorreu somente com a primeira raiz cúbica para que entenda a linha acima):

$\sqrt[3]{{x}^{3} + x} = \sqrt[3]{\frac{{x}^{3}}{{x}^{3}}({x}^{3} + x)} = \sqrt[3]{{x}^{3} \left(1 + \frac{x}{x^3} \right)} =$

$= \sqrt[3]{{x}^{3} } \cdot \sqrt[3]{\left(1 + \frac{x}{x^3} \right)} = x\sqrt[3]{\left(1 + \frac{x}{x^3} \right)}$

$\blacksquare$

por **Rosi7** » Seg Ago 10, 2015 13:22

Entendi onde é meu erro. Embaixo eu não repetia, fiz a regra do a² +ab + b² também.. Que confusão a minha!!!

Muitíssimo obrigada!!!!!!!!

Obs: Nakagumahissao, notei que você usou a²-b², posso usar isso? Sendo que tenho raiz cúbica o certo não seria a³-b³?

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