[Combinatória] - matemática discreta

por **Skizito** » Dom Jul 27, 2014 16:38

Boa tarde, precisava de ajuda nestes 3 exercicios.

1- De quantas maneiras distintas podemos distribuir 27 livros distintos por três pessoas A,
B e C sabendo que as pessoas A e B juntas recebem o dobro do que a pessoa C recebe?

2- Pretende-se pintar 10 bolas iguais usando 4 cores: amarelo, azul, verde e vermelho. De
quantas maneiras distintas podemos fazê-lo sabendo que cada uma das cores amarela e
azul é suficiente para pintar no máximo 3 bolas e as restantes existem em quantidade
suficiente para pintar todas as bolas?

3- Quantas palavras de 9 letras se podem formar com as letras da palavra DIVISORES
sabendo que pelo menos um par de letras iguais aparece em posições consecutivas?

Website · por **alexandre_de_melo** » Sex Jul 31, 2015 13:49

1-Como A e B (juntos) recebem o dobro de C, então C receberá 9 e A e B receberão juntos 18 livros.

C poderá receber 9 livros de $C^9 _{27}$ modos.

Uma vez que C já recebeu seus livros, teremos 19 modos para distribuir os livros do par AB.
Temos como opções para AB:(0,18),(1,17),(2,16) ... (18,0).

E portanto, para distribuir os livros teremos $19*C^9 _{27}$

2-Vamos chamar as cores amarela e azul de cores especiais, e tratar a quantidade de cores verde e vermelha pelo par ordenado (vd,vm)

Para pintar 6 bolas com cores especiais, teremos 5 modos diferentes de pintar as outras bolas.(0,4),(1,3)...(4,0),
e logo, 5 modos.

Para pintar 5 bolas com cores especiais( 3az e 2 am, ou 2az e 3am ), teremos 6 modos diferentes de pintar as outras bolas.(0,5),(1,4)...(5,0),
e logo 2* 6 modos. Logo, 12 modos

Para pintar 4 bolas com cores especiais( 3az e 1 am, ou 2az e 2am ou 1az e 3 am), teremos 7 modos diferentes de pintar as outras bolas.(0,6),(1,5)...(6,0),
e logo 3* 7 modos.Logo, 21 modos.

Para pintar 3 bolas com cores especiais( 3az ou 2az e 1 am ou 1 az e 2 am ou 3am ), teremos 8 modos diferentes de pintar as outras bolas.(0,7),(1,6)...(7,0),
e logo 4* 8 modos.Logo, 32 modos.

Para pintar 2 bolas com cores especiais( 2 az ou 1z e 1 am ou 2am ), teremos 9 modos diferentes de pintar as outras bolas.(0,8),(1,7)...(8,0),
e logo 3* 9 modos.Logo, 27 modos.

Para pintar 1 bola com cor especial ( 1 am ou 1 az ), teremos 10 modos diferentes de pintar as outras bolas.(0,9),(1,8)...(9,0),
e logo 2* 10 modos.Logo, 10 modos.

Sem usar cor especial, teremos 11 modos diferentes de pintar as outras bolas.(0,10),(1,9)...(10,0),
e logo 11 modos.

Teremos ao todo:
5+12+21+32+27+10+11= 118 modos diferentes!!!!

3-Considere I(j) o conjunto dos anagramas onde o i aparece junto, e S(j) o conjunto dos anagramas onde o s aparece junto.
Temos então:
#I(j)=8!/2, pois considerando o par de i´s como uma letra teremos $\frac{P_8}{2}$

#S(j)=8!/2, pois considerando o par de s´s como uma letra teremos $\frac{P_8}{2}$

$\#[I(j)\bigcap S(j)]=\frac{7!}{2*2}$ ,pois considerando o par de i´s como uma letra e o par de s´s como uma letra teremos $\frac{P_7}{2*2}$
Observe que acima as letras iguais podem ser trocadas de posição, e por isso, para cada letra igual, dividimos a quantidade de anagramas por 2.

$\#[I(j)\bigcup S(j)]= #I(j)+#S(j)-\#[I(j)\bigcap S(j)]$
$\#[I(j)\bigcup S(j)]= \frac{8!}{2}+\frac{8!}{2}-\frac{7!}{2*2}$

=39.060

Ufaaaaaaaaaaaaaaaaaa!!!!!

Grande abraço!!! Fuiiiiii!!!!!

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