[Derivada]Dúvidas em simplificação

por **maurosilva7** » Qui Mai 28, 2015 21:48

Não consigo chegar na simplificação da primeira derivada de : $f(x)=\left( {a}^{\frac{2}{3}}-{X}^{\frac{2}{3\right)}}$
Acredito que a derivada seja: $f'(x)=\frac{2}{3}\left({a}^{\frac{2}{3}}-{X}^{\frac{2}{3}}\right)\left(-\frac{2}{3}{X}^{\frac{-1}{3}} \right)$ , mas apartir daí não consigo chegar na simplificação correta, que segundo o gabarito seria: $f'(x)=\sqrt[]{\sqrt[3]{\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}-1}}$

por **nakagumahissao** » Dom Jul 19, 2015 11:26

Veja bem, a é uma constante pois a função apenas tem como variável independente o 'x'.

$f(x)=\left( {a}^{\frac{2}{3}}-{x}^{\frac{2}{3\right)}}$

Assim, a derivada será:

$f'(x)= {a}^{\frac{2}{3}}-\frac{2}{3}{x}^{\frac{2}{3} - 1}$

$f'(x)= {a}^{\frac{2}{3}}-\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}$

$f'(x)= {a}^{\frac{2}{3}}-\frac{2}{3 {x}^{\frac{1}{3}}}$

$f'(x)= \frac{3{x}^{\frac{1}{3}}{a}^{\frac{2}{3}}-2}{3{x}^{\frac{1}{3}}}$

$f'(x)= \frac{3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{{a}^{2}} - 2}{3\sqrt[3]{x}}$

$f'(x)= \frac{3\sqrt[3]{x{a}^{2}}- 2}{3\sqrt[3]{x}}$

$f'(x)= \frac{3\sqrt[3]{x{a}^{2}}- 2}{3\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}}$

$f'(x)= \frac{3x\sqrt[3]{a^2} - 2}{3x}$

A resposta será:

$f'(x)= \sqrt[3]{a^2} - \frac{2}{3x}$

Favor certificar-se que o gabarito esteja correto. Parece que há algo errado nesta resposta.

por **maurosilva7** » Dom Jul 26, 2015 20:50

Nossa, muito obrigado! Acho que o gabarito devia estar errado sim porque eu peguei a lista de exercícios de um site e não de um livro, de qualquer jeito, me perdoe por mais uma dúvida.
Por que no sétimo passo você racionalizou a fração por $\frac{\sqrt[3]{{x}^{2}}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}$ ao invés de racionalizar por $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ ?

por **nakagumahissao** » Seg Jul 27, 2015 13:02

A racionalização foi feita daquela forma por causa das propriedades da radiciação e da potenciação. Ou seja, na potenciação, quando multiplicamos um número de base x por exemplo, elevado a algum número e outro com base também x elevado a outro número qualquer, mantemos a base e somamos os expoentes.

Para a radiciação, existe uma propriedade que diz que quando temos a raiz 'n' de algum número elevado à um expoente 'a', podemos reescrever esta raiz em forma de fração, onde, neste caso ficaria a/n.

Vou te dar alguns exemplos:

1) Potenciação:

${x}^{2} \times {x}^{3} = {x}^{2 + 3} = {x}^{5}$

${x}^{2} \times {x}^{3} \times {x}^{5} = {x}^{2 + 3 + 5} = {x}^{10}$

${x}^{2} \times {x}^{3} \times {x}^{-5} = {x}^{2 + 3 - 5} = {x}^{0}$

${x}^{a} \times {x}^{b} \times {x}^{c} = {x}^{a+b+c}$

2) Radiciação:

$\sqrt[2]{{3}^{5}} = {3}^{\frac{5}{2}}$

$\sqrt[4]{{9}^{7}} = {9}^{\frac{7}{4}}$

$\sqrt[4]{{x}^{7}} = {x}^{\frac{7}{4}}$

$\sqrt[3]{x} = {x}^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[2]{x} = {x}^{\frac{1}{2}}$

3) Juntando a Radiciação e a Potenciação ficará (O último é o caso da nossa racionalização que foi feita) - OBSERVAÇÃO IMPORTANTE! - Isto que estou explicando somente é válido para MULTIPLICAÇÃO de radicais de Índices e radicandos IGUAIS:

$\sqrt[3]{{x}^{2}} \times \sqrt[3]{{x}^{5}}= {x}^{\frac{2}{3}} \times {x}^{\frac{5}{3}} = {x}^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3}}={x}^{\frac{7}{3}} = \sqrt[3]{{x}^{7}}$

Primeiramente:

$\sqrt[n]{a}$

'n' se chama "Índice", 'a' é radicando e o conjunto todo é chamado de radical.

Quando temos o mesmo índice (veja o exemplo dado onde o índice é o número 3) e o radicando é o mesmo (no caso do exemplo, o radicando é o 'x'), então, podemos diretamente escrever o radical usando o mesmo índice (3), o mesmo radicando (x) e finalmente, usando a propriedade da multiplicação de potências, somar os expoentes.

Veja mais exemplos:

$\sqrt[5]{{2}^{43}} \times \sqrt[5]{{2}^{3}} = \sqrt[5]{{2}^{43+3}} = \sqrt[5]{{2}^{46}}$

$\sqrt[5]{{x}^{43}} \times \sqrt[5]{{x}^{3}} = \sqrt[5]{{x}^{43+3}} = \sqrt[5]{{x}^{46}}$

Finalmente, respondendo agora sua pergunta, para podermos "eliminar" a raiz que estava no denominador, precisaríamos multiplicar por algo que fizesse com que a raiz desaparecesse. Como tínhamos:

$3\sqrt[3]{x}$

no denominador, teríamos que encontrar 'algo' que se multiplicássemos por ele faríamos com que a raiz 'desaparecesse'. Assim, para que a raiz desapareça teríamos que encontrar alguma coisa que tivesse o mesmo índice, o mesmo radicando, mas cuja SOMA dos expoentes fizesse com o expoente se tornasse 3 pois:

$3\sqrt[3]{x} \times \sqrt[3]{{x}^{2}} = 3\sqrt[3]{{x}^{3}} = 3{x}^{\frac{3}{3}} = 3x^1 = 3x$

Como não podemos apenas multiplicar o denominador por

$\sqrt[3]{{x}^{2}}$

porque mudaria o resultado final, temos então que multiplicar e dividir por ele mesmo (que na realidade seria multiplicar por 1, o que não muda o resultado em nada por estarmos multiplicando um número dividido por ele mesmo), então multipliquei em cima e embaixo (numerador e denominador) por:

$\frac{\sqrt[3]{{x}^{2}}}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}$

Espero que tenha compreendido.