Polinômio da

por **zenildo** » Qua Jul 15, 2015 11:42

1) Como o dinheiro está entre os atributos que se supõe trazer felicidade, uma grande parcela da população vê, nos jogos de loteria, a
esperança de realização de sonhos como ter carro, casa própria, fazer viagens, ajudar a família etc.
Com esse propósito, X costuma jogar na Mega Sena e usa diferentes critérios para a escolha dos números para cada aposta que faz.
Certo dia, enquanto estudava funções polinomiais, teve a ideia de fazer um jogo utilizando de P(x)=2x³-30x²+108x- 80.

a) as raízes

b) a soma dessas raízes

c) o produto dessas raízes

d) a soma do produtos dessas raízes consideradas duas a duas

Com base nessas informações determine os n° que X escolheu para fazer o referido jogo.

por **nakagumahissao** » Qua Jul 15, 2015 12:10

viewtopic.php?f=0&t=7543

por **zenildo** » Qua Jul 15, 2015 12:33

Eu não fiz esse problema porque eu não sei fazer. Esse é um dos problemas da minha lista de prova que eu não consegui fazer

por **nakagumahissao** » Qui Jul 16, 2015 04:22

Vamos lá então!

$P(x) = {2x}^{3}- {30x}^{2} + 108x - 80$

Vamos primeiramente analisar os sinais de cada coeficiente deste polinômio. Temos:

+, -, + e -

Houveram 3 trocas de sinais. Assim, podemos dizer que existem 3 raizes positivas

Se fizermos x = - x teremos:

$P(x) = -{2x}^{3}- {30x}^{2} - 108x - 80$

Ou seja,

-, -, - e -

Não houve nenhuma troca de sinais e portanto, como esperado, não existem raízes negativas.

Precisaremos agora determinar que raízes são essas!

Por tentativa e erro, uma das raízes é x= 1, pois:

$P(x) = {2\times 1}^{3}- {30 \times 1}^{2} + 108 \times 1 - 80 = 0$

Verifique!

Então, dividindo-se o polinômio dado por (x - 1), obteremos:

$\frac {{2x}^{3}- {30x}^{2} + 108x - 80}{x - 1}= {2x}^{2} - 28x + 80$

E desta última equação ( quadrática ):

$\sqrt[]{\Delta} = \sqrt[]{b^2 - 4ac} = \sqrt[]{(-28)^2 - 4 (2)(80)}$

$\sqrt[]{\Delta} = \sqrt[]{144} = 12$

$x = \frac{-b \pm \sqrt[]{\Delta}}{2a}=\frac{28 \pm 12}{4}$

$x =\frac{28 + 12}{4} = 10$

E

$x =\frac{28 - 12}{4} = 4$

RESPOSTAS

a) As raízes: 1, 4 e 10
b) A soma destas raízes: 1 + 4 + 10 = 15
c) O produto dessas raízes: (1)(4)(10) = 40
d) A Soma do produto destas raízes dois a dois: (1)(4)=4, (1)(10)=10, (4)(10)=40 e por fim 4 + 10 + 40 = 54

Os números escolhidos foram então 1, 4, 10, 15, 40 e 54

$\blacksquare$

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