Limite com raiz enésima - como calcular?

por **Brunorp** » Ter Mar 24, 2015 08:56

Saberiam ajudar a calcular o limite abaixo sem utilizar o teorema de l'Hospital? Acredito que devamos fazer alguma operação com logarítimos para reorganizar a expressão, mas não encontrei o resultado.

Obrigado!

$\lim_{x-a}\left(\sqrt[m]{x}-\sqrt[m]{a} \right)/\left(x-a \right)$

por **adauto martins** » Qui Mar 26, 2015 16:17

faz-se $y=\sqrt[n]{x}\Rightarrow x={y}^{n}e b=\sqrt[n]{a}\Rightarrow a={b}^{n}$ ...logo:
$L=\lim_{y\rightarrow b}(y-b)/({y}^{n}-{b}^{n})=\lim_{y\rightarrow b}(y-b)/(y-b)({y}^{n-1}+{y}^{n-2}+...+{y}^{2}{b}^{n-3}+y{b}^{n-2}+{b}^{n-1})$ = $\lim_{y\rightarrow b}1/({y}^{n-1}+...+{b}^{n-1})=1/({b}^{n-1}+...+{b}^{n-1})$ $=1/n{b}^{n-1}=1/n(\sqrt[n]{a})^{n-1}$

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