[Frações Algébricas] Como simplifico essa fração?

por **Kah** » Qua Mar 18, 2015 17:44

Olá! Alguém pode me ajudar, por favor?

Como simplifico essa fração algébrica?

Sei que no numerador tenho uma diferença entre quadrados e no denominador um diferença entre cubos. Fiz assim:

Numerador:

m³ - 1 = (m - 1)(m² + m + 1)

Denominador

m^6 - 1 = (m²)³ - (1)³ = (m² - 1)(m^4 + m² + 1) = [(m + 1)(m - 1)]( m^4 + m² + 1 )

Simplifiquei (m - 1) do numerador com o (m - 1) do denominador, ficando assim:

(m² + m + 1)/ (m + 1)( m^4 + m² + 1 )

Não consigo sair disso :/

O que fiz de errado?

por **Russman** » Qua Mar 18, 2015 22:38

Pensei uma forma mais direta.

Se você tomar m^6 -1 = (m^3)^2 - 1^2 = (m^3+1)(m^3-1)

Daí,

$\frac{m^3-1}{(m^3+1)(m^3-1)} = \frac{1}{m^3+1}$

Mas você não fez errado.

Note que se você dividir $\frac{m^2+m+1}{m^4+m^2+1}$ obterá $\frac{1}{m^2-m+1}$ e, portanto, o resultado será

$\frac{1}{(m+1)(m^2-m+1} = \frac{1}{m^3+1}$ .

Para dividir os polinômios basta observar seus graus. Já que o polinômio do numerador é de grau 2 e do denominador de grau 4 então o quaociente entre eles será um polinômio de grau zero dividido por um de grau 2.

Daí, suponha que existam reais a, b e c tais que

$\frac{m^2+m+1}{m^4+m^2+1} = \frac{1}{am^2+bm+c}$

Sem dificuldades você concluirá que

am^4 + (a+b) m^3 + (a+b+c)m^2 + m(c+b) + c = 0

am^4 + (a+b) m^3 + (a+b+c)m^2 + m(c+b) + c = 0

de onde a=1, b=-1 e c=1 por igualdade de polinômios.

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Re: [Frações Algébricas] Como simplifico essa fração?

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