Integral para calcular o volume

por **neoreload** » Sex Mar 13, 2015 05:11

Pessoal estou perdido nessa questão:

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pelas seguintes curvas:

x + y = 8, x = 0, y = 0

Resposta: $\frac{512\pi}{3}$

Estou bem no inicio da disciplina, se possível colocar o passo de maneira simples, pq fiquei sem entender mesmo. Eu sei que usa a integral multiplicada pelo pi, mas não estou sabendo usar. Estou precisando dessa pra continuar.

por **Russman** » Sex Mar 13, 2015 17:00

Não é difícil.

Se a curva que será girada em torno do eixo

é

então o volume

do sólido gerado entre os extremos x=a

e

é

$V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx$ .

Ou seja, basta que você integre a função ao quadrado e multiplique por pi.

Tenta fazer isso.

Note que o intervalo de integração é [0,8]

já que no limite y=0

a função

assume o valor para x=8

. Ainda, olhando bem, o sólido gerado será um cone de altura 8 e raio de base $\frac{f(0)}{2}$ . Daí, da geometria espacial, sabemos que seu volume será

$V = \frac{A_{base}.h}{3} = \frac{\pi 4^2 . 8}{3} = \frac{512 \pi}{3}$

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