Calcular o volume usando integrais duplas

por **Fernandobertolaccini** » Dom Jan 11, 2015 17:35

Calcular o volume do sólido limitado no 1º octante pelo cilindro x²+y²=16 e pelo plano z = 4x .

Resp: 256/3

Não estou conseguindo montar esta integral

Obrigado !

por **Russman** » Dom Jan 11, 2015 20:34

Calcularemos o volume da região limitada no 1° octante de modo que $0 \leq x \leq 4$ .

Os valore de y variam de acordo com a curva x^2 + y^2 = 16

e, portanto, já q estamos no 1° octante, $y=\sqrt{16-x^2}$ .

Finalmente, os valores de z são tais que $0 \leq z \leq 4x$ .

Assim, integre

$\int_{0}^{4} \int_{5}^{\sqrt{16-x^2}} \int_{0}^{4x} \ dz \ dy \ dx$

por **Fernandobertolaccini** » Seg Jan 12, 2015 10:29

Russman escreveu:Calcularemos o volume da região limitada no 1° octante de modo que $0 \leq x \leq 4$ .

Os valore de y variam de acordo com a curva e, portanto, já q estamos no 1° octante, $y=\sqrt{16-x^2}$ .

Finalmente, os valores de z são tais que $0 \leq z \leq 4x$ .

Assim, integre

$\int_{0}^{4} \int_{5}^{\sqrt{16-x^2}} \int_{0}^{4x} \ dz \ dy \ dx$

Ok, mas com qual número ou função que começarei a integração?

por **Russman** » Seg Jan 12, 2015 16:24

O número 1.

A primeira integral é trivial.

$\int_{0}^{4x} dz = z|_0^{4x} = 4x-0 = 4x$

A segunda, como é com respeito a y, será da mesma forma.

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