Diferencial de uma função com várias variáveis

por **Fernandobertolaccini** » Qui Dez 25, 2014 18:16

Duas resistências elétricas R1 e R2 estão ligadas em paralelo, ou seja, a resistência equivalente R é dada por $\frac{1}{R}=\frac{1}{R1}+\frac{1}{R2}$ Supondo que R1= 30 ohms e R2 = 50 ohms , calcule a variação de R se:

a) R1 aumenta de 0,03 ohms e R2 diminui de 0,05 ohms
b) R1 diminui de 0,07 ohms e R2 aumenta de 0,04 ohms .

Resp: a) dR = 0,0047 ohms

b) dR = -0,022 ohms

Como chego neste resultado?

Obrigado !

por **adauto martins** » Sex Dez 26, 2014 12:00

$R={R}_{1}.{R}_{2}/({R}_{1}+{R}_{2})\Rightarrow \Delta R=R({R}_{1}+d{R}_{1},{R}_{2}+d{R}_{2})-R({R}_{1},{R}_{2})$ ...
a) $\Delta R=(30+0.03,50-0.05)-(30,50)=(30.03).(49.95)/(30.03+49.95)-(30.50/80)\simeq 18.75466991-18.75=0.0047$
b)analogo a a)

por **Russman** » Sáb Dez 27, 2014 00:21

De fato, dada uma função f=f(x,y)

,

$\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x} \ \mathrm{d} x + \frac{\partial f}{\partial y} \ \mathrm{d} y$ .

Daí, como a função "resistência equivalente"

é função das duas resistências R_1

e

, então

$\mathrm{d} R = \frac{\partial R}{\partial R_1} \ \mathrm{d} R_1 + \frac{\partial R}{\partial R_2} \ \mathrm{d} R_2$ .

Calculando as derivadas parciais você concluirá que, após aplicar a derivação da função composta e , em seguida, da cadeia,

$\frac{\partial R}{\partial R_1} = \frac{R^2}{R_1^2}$

$\frac{\partial R}{\partial R_2} = \frac{R^2}{R_2^2}$

e, portanto,

$\mathrm{d} R = R^2\left (\frac{ \mathrm{d} R_1}{R_1^2} + \frac{ \mathrm{d} R_2}{R_2^2} \right )$

A resistência equivalente é 18,75.

Na letra a) tome $\mathrm{d} R_1 = + 0.03$ e $\mathrm{d}R_2 = - 0.05$ . Analogamente na letra b).