Cálculo de derivada com várias variáveis

por **Fernandobertolaccini** » Sex Dez 19, 2014 17:44

Achar:

$\frac{\partial(z)}{\partial(x)}+\frac{\partial(z)}{\partial(y)}$ se $z=\int_{1}^{x^2+y^2}{e}^{{-t}^{2}}.dt$

Resp: $\frac{\partial(z)}{\partial(x)}+\frac{\partial(z)}{\partial(y)}=2{e}^{-{(x^2+y^2)}^{2}}.(x+y)$

Como chego enste resultado??!

Muito obrigado !!

por **adauto martins** » Seg Dez 22, 2014 18:56

${z}_{x}=(\partial/\partial x)\int_{1}^{a}{e}^{-t^2}dt=\int_{1}^{a}(\partial {e}^{-t^2}/\partial x)dt$ $\int_{1}^{a}(\partial {e}^{-t^2}/\partial t).(\partial t/\partial x)dt$ ,como $t=1,ou t={x}^{2}+{y}^{2}\Rightarrow (\partial t/\partial x)=2x$ $\Rightarrow \int_{1}^{a}\partial ({e}^{-{t}^{2}}/\partial t).(\partial t/\partial x)dt=\int_{1}^{a}(-2t.{e}^{-{t}^{2}}.t/2)dt=\int_{1}^{a}(-{t}^{2}{e}^{-{t}^{2}})dt=$ ...aqui faz-se $u=-{t}^{2}\Rightarrow du=-2.tdt...{z}_{x}=2.\int_{1}^{a}(u{e}^{u})du$ ...calcula-se por partes em u,substitui em t,calcula com os limites de integraçao...analogamente p/ ${z}_{y}$ ...

por **adauto martins** » Qua Dez 24, 2014 11:36

uma correçao(de sempre!)... $\int_{1}^{a}(\partial {e}^{-t^2}/\partial t).(\partial t/\partial x)dt=\int_{1}^{a}(-2t{e}^{-t^2}).2xdt=2x.\int_{1}^{a}(-2t{e}^{-t^2})dt$ ,aqui integra somente em relaçao a t...logo:
$=2x.{e}^{-t^2}[1,{x}^{2}+{y}^{2}]=2x.({e}^{-({x}^{2}+{y}^{2})^2}-2{e}^{2})$ ...analogamente p/ ${z}_{y}$

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