Derivadas-taxas de variação

por **lucas_carvalho** » Ter Dez 02, 2014 20:27

Boa noite!
Estou com dúvidas nessa questão retirada do livro "Cálculo" de James Stewart, 7° edição:
Suponha que uma bola de neve derreta de maneira que seu volume decresce a uma taxa proporcional a área de sua superfície. Se levar três horas para a bola de neve derreter para a metade de seu volume original, quanto tempo demorará para a bola de neve derreter completamente?

Obrigado pela atenção

por **adauto martins** » Qua Dez 03, 2014 20:09

$dV/dt=k.S\Rightarrow utilizar a regra da caeia p/dV/dt= (dV/dS).(dS/dt)=k.S\Rightarrow$ ...como $V=(4/3)\pi{r}^{3}=(4\pi{r}^{2})(r/3)=S.(r/3)\Rightarrow dV/dS=r/3\Rightarrow$ ... $(r/3)dS/dt=k.S\Rightarrow dS/S=(3.k/r).dt\Rightarrow lnS=(3k/r)t\Rightarrow S={e}^{(3k/r).t}$ ,ou melhor S=3.V/r