Diferenciais - Erro máximo e relativo

por **Vencill** » Ter Dez 02, 2014 17:21

Boa tarde!

Estou com dúvida no seguinte exercício:

A aresta de um cubo mede 30 cm com um erro de medida de 0,1 cm. Utilizando diferenciais estimar o erro máximo e relativo no cálculo:

a) volume.

b) Área da superfície do cubo.

Dúvida: é o seguinte como tenho um pouco de dificuldade em diferenciais, não consigo resolver este exercício, a resposta da a é $270{cm}^{3}$ e 1% e da b é $36{cm}^{3}$ e 0,6%.

Agradeço se alguem me ajudar!

por **lucas_carvalho** » Ter Dez 02, 2014 21:05

Boa noite!!
Bom, vamos lá. Sabemos que o volume V de um cubo de aresta a é dado por:
V=a^3

Agora devemos derivar em relação a "a":
dV/da=3a^2

Logo:

é o erro máximo cometido na medição do volume.
Para calcular o erro percentual, fazemos:
dV/V = 3a^2.da/a^3= 3 da/a = 3. (0,1)/30 =0,01=1/100

Essa foi a letra "a"

A área da superfície de um cubo é dada por:
A=6a^2

Derivando:
dA/da=12a

Então o erro máximo na medida é:
dA=12.30.0,1=36

Para o erro percentual:
$dA/A=12a.da/6a^2=2. da/a=2. 0,1/30\approx 0,6/100$
Essa foi a letra 'b"

Espero ter ajudado, desculpe qualquer erro (é a primeira vez que entro nesse fórum).