[Cálculo I] Exercício - Máximos e Mínimos

por **Pessoa Estranha** » Dom Nov 16, 2014 16:53

Olá, pessoal! Boa Tarde!

Preciso de ajuda para resolver o seguinte exercício: "Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços, um dos quais formará um círculo e o outro, um quadrado. Como deve ser cortado o fio para que a soma das áreas do círculo e do quadrado seja máxima?"

Minha resolução:

Seja x o pedaço de L destinado ao círculo. Seja y, o do quadrado. Temos x + y = L. Sabemos que a área de um círculo é dada por: $\pi {r}^{2}$ , onde r é o raio. Como temos o comprimento x, vem que $2 \pi r = x \rightarrow r = \frac{x}{2 \pi}$ . Logo, ${A}_{c} = \frac{{x}^{2}}{4 \pi}$ é a área do círculo. Da mesma forma, temos que a área do quadrado é dada por: ${A}_{q} = {a}^{2}$ , onde

é a medida do lado do quadrado. Mas, sabemos que $4a = y \rightarrow a = \frac{y}{4}$ . Logo, ${A}_{q} = \frac{{y}^{2}}{16}$ . Para trabalharmos com uma variável, segue: $x + y = L \rightarrow x = L - y \rightarrow {x}^{2} = {L}^{2} - 2Ly + {y}^{2}$ . Substituindo, vem que: ${A}_{c} = \frac{{L}^{2} - 2Ly + {y}^{2}}{4 \pi}$ . Somando as duas áreas, temos: ${A}_{c} + {A}_{q} = \frac{{L}^{2} - 2Ly + {y}^{2}}{4 \pi} + \frac{{y}^{2}}{16} \rightarrow {A}_{c} + {A}_{q} = \frac{{y}^{2}(4+ \pi) - 8Ly + 4{L}^{2}}{16 \pi}$ . Derivando, temos: $\frac{(4+ \pi)y - 4L}{3 \pi}$ . Daí, fazendo um estudo do sinal, não encontrei ponto de máximo, e, sim, de mínimo.

Por favor, preciso de ajuda! Muito Obrigada!

[Cálculo I] Exercício - Máximos e Mínimos

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