Derivada de primeiro grau

por **Vencill** » Qui Nov 13, 2014 17:05

Bom dia a todos!

Estou com dúvida no seguinte exercício:

Se F(x)=f(g(x)), com f(-2)=8, f' (-2)=4, f' (5)=3, g(5)=-2 e g'(5)=6. Encontrar F' (5)

Pelo que eu entendi eu tenho que substituir na formula F(x)=f(g(x)) os valores de acordo com F'(5), mas eu fiz a derivada e deu 0.

Poderiam me ajudar no exercício se possível hoje?

O mesmo para o exercício abaixo que é no mesmo sentido:

Se F(x)=f(xf(xf(x))) com f(1)=2, f(2)=3, f' (1)=4, f'(2)=5 e f' (3)=6, determinar F' (1).

No caso deste exercicio o resultado é para ser F' (1)=198.

Muito obrigado pessoal, sou novo neste fórum e já curti!

por **Pessoa Estranha** » Qui Nov 13, 2014 22:51

Olá!

Vou tentar ajudar. Pelo que entendi, podemos tentar resolver assim:

Como queremos F'(5), podemos, antes, obter a F'(x), que consiste em aplicar a Regra da Cadeia. Por exemplo, vamos derivar ${\left({(x+1)}^{5}\right)}^{'}= {(x+1)}^{'}.5.{(x+1)}^{4} = 1.5.{(x+1)}^{4}$ $= 5{(x+1)}^{4}$ . Daí, seguindo essa ideia, temos:

F'(x) = g'(x).f '(g(x))

Então, vem que:

F'(5) = g'(5).f '(g(5)) = 6.f '(-2) = 6 . 4 = 24

Essa é a resposta certa? Entendeu? :y:

por **Vencill** » Qui Nov 13, 2014 23:06

Nossa cara entendi sim faz sentido, Vlw!

Eu posso seguir a mesma ideia para o problema abaixo?

Se F(x)=f(xf(xf(x))) com f(1)=2, f(2)=3, f' (1)=4, f'(2)=5 e f' (3)=6, determinar F' (1).

pode me ajudar com esse?

por **Pessoa Estranha** » Qui Nov 13, 2014 23:49

Vencill escreveu: Se F(x)=f(xf(xf(x))) com f(1)=2, f(2)=3, f' (1)=4, f'(2)=5 e f' (3)=6, determinar F' (1).

Olá!

Então, eu estava justamente pensando neste quando vc respondeu. É mais complicado. Mas, eu vou tentar. Na minha primeira tentativa, a resposta deu 120. Estou achando que aqueles "x" que não estão dentro da f, isto é, f(x), que aparece no meio das contas deve ser considerado uma função, a função identidade. Então, fica assim:

Seja x = g (x). Temos: F(x) = f(g(x)f(g(x).f(x))) (preste bastante atenção nos parênteses, ficou um pouco confuso, mas é isso).
Então, F'(x) = (g(x)f(g(x).f(x)))' . f '(g(x)f(g(x).f(x))).
Agora, vamos separar:

(*) = (g(x)f(g(x).f(x)))' = g'(x) . f(g(x).f(x)) + f '(g(x).f(x)) . g(x) = 1 . f(xf(x)) + f '(x.f(x)) . x = f(xf(x)) + xf '(xf(x)). Daí, aplicando em x = 1, temos:
(*) = f(1.f(1)) + 1. f '(1f(1)) = f(2) + f '(2) = 3 + 5 = 8.

(**) = f '(g(x)f(g(x).f(x))) = f '(x(f(xf(x))) = f '(1.f(1.f(1))) = 6.

Bom, acaba que F'(1) = 8 . 6 = 48.

De novo eu não encontrei a resposta certa. Sinto muito. Depois, posso tentar com mais calma. Mas, a ideia é essa. Neste caso, temos muitas composições. E eu não consigo encontrar o meu erro. Desculpe. O que você acha? Tente aplicar essa ideia.

por **Pessoa Estranha** » Qui Nov 13, 2014 23:49

A resposta do anterior era 24 mesmo?

por **Pessoa Estranha** » Sex Nov 14, 2014 00:00

Olha, neste site, http://www.wolframalpha.com/input/?i=de ... x%29%29%29 ,tem a expressão final da derivada. Aplicando no ponto x = 1, realmente chegamos a resposta certa. Dê uma olhadinha.