Pontos maximo e minimos de uma funçao e ponto de sela

por **b11adriano** » Sáb Out 04, 2014 14:56

Nao estou conseguindo a resolução de problema:

Uma placa circular plana tem o formato da região x^2 + y^2 ?1. A placa, incluindo a
fronteira na qual x^2 + y^2 =1 é aquecida, de forma que a temperatura no ponto (x,y)
é dada pela equação T(x, y)= x^2 + 2y^2 ? x . Encontre as temperaturas nos pontos
mais quentes e mais frios da placa?

por **adauto martins** » Seg Out 06, 2014 12:40

de forma sucinta,teremos:
${\Gamma}_{x}=2x-1=0, {\Gamma}_{y}=4y,onde {\Gamma}_{x},{\Gamma}_{y}$ sao as derivadas parciais em relaçao a x,y
resolvendo temos:(1/2,0)um ponto de max. ou min... ${\Gamma}_{(1/2,0)}$ =-1/2...
(1/2,0)e ponto min.,pois ${\Gamma}_{(1/4,0)}=-1/2\prec0$ e ${\Gamma}_{x,x}=2\succ0$ ,onde ${\Gamma}_{x,x}$ e a derivada segunda no ponto (1/2,0)...vamos procurar a direçao do gradiente,onde a funçao procura seu max...entao:
tomemos H=(cosa,sena) tal q. ${\Gamma}_{x}cosa+{\Gamma}_{y}sena=0$ $\Rightarrow$
tga=- ${\Gamma}_{y}/{\Gamma}_{x}$ $\Rightarrow$ a=arctg(-(4y/(2x-1)),agora sao alguns calculos,observando a $\in$ ( $-\pi/2$ , $\pi/2$ )e $-1\preceq(-4y/(2x-1)\preceq1$ ,faz-se os calculos achando a e subst. na expressao do gradiente,tem-se o ponto de max. e o valor da temp. max...