Polinômio

por **SandraRB** » Dom Ago 31, 2014 16:53

Não consigo concluir esse exercício:
Se o polinômio x3+kx2-2x+3 é divisível pelo polinômio x2-x+1, qual é o quociente?

Já tentei pelo método da chave, mas ao verificar o resto não é coerente com as respostas propostas...

por **e8group** » Seg Set 01, 2014 00:28

Outra forma :

Lemma 1. Dois polinômios são iguais se, e somente , se seus coeficientes forem ordenadamente iguais .

Exemplo : Sejam $p(x) = x^{201} + 9x + 6$ e $q(x) = x^{201} + x + 6$ Temos 9 \neq 1 , logo p \neq q ..

Lemma 2 . Se p e q são polinômios de graus n e m , respectivamente , então pq é um polinômio de grau n+m

Exemplo

.

Fixado

em $\mathbb{N}$ ,definamos $p(x):= \sum_{k=0}^{m} \alpha_k x^k$ e $q(x):= \sum_{l=0}^{n} \beta_k x^k$ com $\alpha_m \cdot \beta_n \neq 0$ .

Segue que $(pq)(x) = p(x) \cdot q(x) = \sum_{k=0}^{m} \alpha_k x^k \cdot \sum_{l=0}^{n} \beta_k x^k = \sum_{k=0}^m \sum_{l=0}^{n} \alpha_k \cdot \beta_l x^{l+k }$ , como o maior valor que l+k

assume é

o resultado segue .

Lemma 3 . A respeito de dois polinômios p e m , dizer que m divide p , é o suficiente mostrar que existe algum polinômio q tal que p = mq .

Estamos pronto para o exercício .

Tome p(x) = x^3 + kx^2 - 2x + 3